第二十一讲卷积公式

一，卷积公式：

已知： $F(s)=\int_{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$ ， $G(s)=\int_{0}^{\infty }g(t)e^{-st}dt$
设： $F(s)G(s)=\int_{0}^{\infty }[f(t)\ast g(t)]e^{-st}dt$
求： $f(t)\ast g(t)=\mathcal {L}^{-1}[F(s)G(s)]$
因为拉氏变换是由幂级数变过来的，所以上面的问题可以转换为下面的问题方便计算：

已知： $F(s)=\sum_{0}^{\infty }a(n)x^{n}$ ， $G(s)=\sum_{0}^{\infty }b(n)x^{n}$
设： $F(s)G(s)=\sum_{0}^{\infty }[a(n)\ast b(n)]x^{n}$
求： $a(n)\ast b(n)$ ，（求解过程省略）

解得卷积公式： $f(t)\ast g(t)=\mathcal {L}^{-1}[F(s)G(s)]=\int_{0}^{t}f(u)g(t-u)du$
文字解读：两个函数的乘积，等于分别将它们变换后的乘积，再逆变换的结果，由于被变换卷在了一起，因此称为卷积。
满足交换律： $f(t)\ast g(t)=g(t)\ast f(t)$

二，例1：

求： $t^{2}\ast t$
代入卷积公式： $t^{2}\ast t=\int_{0}^{t}u^{2}(t-u)du$
$\int_{0}^{t}u^{2}(t-u)du=\int_{0}^{t}u^{2}tdu-\int_{0}^{t}u^{3}du=t\left. \frac{u^{3}}{3} \right |^{t}_{0}-\left. \frac{u^{4}}{4} \right |^{t}_{0}=\frac{t^{4}}{3}-\frac{t^{4}}{4}=\frac{t^{4}}{12}$
验证：

因为： $\mathcal {L}[t^{2}]=\frac{2!}{s^{3}}$ ， $\mathcal {L}[t]=\frac{1}{s^{2}}$ ， $\mathcal {L}[t^{2}]\cdot\mathcal {L}[t]=\frac{2}{s^{3}}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{5}}$
所以： $\mathcal {L}^{-1}[\mathcal {L}[t^{2}]\cdot\mathcal {L}[t]]=\mathcal {L}^{-1}[\frac{2}{s^{5}}]=\frac{1}{12}\mathcal {L}^{-1}[\frac{4!}{s^{5}}]=\frac{t^{4}}{12}$

三，例2：

求： $f(t)\ast 1$ ，（ $g(t)=1$ ）
代入卷积公式： $f(t)\ast 1=\int_{0}^{t}f(u)1du=\int_{0}^{t}f(u)du$

四，证明卷积公式：

设： $F(s)=\int_{0}^{\infty }f(u)e^{-su}du$ ， $G(s)=\int_{0}^{\infty }g(v)e^{-sv}dv$
$F(s)G(s)=\int_{0}^{\infty }f(u)e^{-su}du\cdot \int_{0}^{\infty }g(v)e^{-sv}dv$
利用二重积分性质：把 $f(u)e^{-su}$ 和 $g(v)e^{-sv}$ 看成矩形的两条边， $f(u)g(v)e^{-s(u+v)}$ 是矩形的面积。如下：
$\int_{0}^{\infty }f(u)e^{-su}du\cdot \int_{0}^{\infty }g(v)e^{-sv}dv=\int_{0}^{\infty } \int_{0}^{\infty }f(u)g(v)e^{-s(u+v)}dudv$
令： $t=u+v$ ， $u=u$ ， $v=t-u$ ，并代入下式：

利用雅克比行列式将 $dudv$ 转变为 $dudt$ ： $dudv=\begin{vmatrix} u_{u} & u_{t}\\ v_{u} & v_{t} \end{vmatrix}dudt=\begin{vmatrix} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{vmatrix}dudt=dudt$
二重积分后半部分变为： $f(u)g(v)e^{-s(u+v)}dudv=f(u)g(t-u)e^{-st}dudt$

二重积分的积分限变为： $\int_{0}^{\infty } \int_{0}^{\infty }dudv=\int_{0}^{\infty } \int_{0}^{t}dudt$ 如下图：
积分线从 $u=0$ 进，从 $v=0=t-u$ 出，得du的上下限；积分面从 $t=0$ 进， $t=\infty$ 出，得dt的上下限
总结： $F(s)G(s)=\int_{0}^{\infty } \int_{0}^{\infty }f(u)g(v)e^{-s(u+v)}dudv=\int_{0}^{\infty } \int_{0}^{t}f(u)g(t-u)e^{-st}dudt=\int_{0}^{\infty } [\int_{0}^{t}f(u)g(t-u)du]e^{-st}dt=\mathcal {L}[\int_{0}^{t}f(u)g(t-u)du]=\mathcal {L}[f(t)\ast g(t)]$
得到卷积公式： $f(t)\ast g(t)=\mathcal {L}^{-1}[F(s)G(s)]=\int_{0}^{t}f(u)g(t-u)du$

五，应用（建立数学模型）：

有一种放射性物质被工厂倾倒，倾倒速率是 $f(t_{u})$ ， $t_{u}$ 表示时刻，此时的倾倒量是 $f(t_{u})\cdot \bigtriangleup t$ ，（ $\bigtriangleup t$ 表示时间段，从 $t=0$ 到 $t=t_{i}$ 一共可分为 $n$ 段）
问题：当工厂从 $t=0$ 时开始倾倒，到 $t=t_{i}$ 时为止，放射性物质一共有多少量？
难点：放射性物质被倾倒后会随时间衰变，假设物质的初始量是 $A_{0}$ ，衰变了时长 $t$ 后，剩下来的量是 $A_{0}e^{-kt}$ ， $k$ 取决于材料性质，这就是放射性衰变定律。
建立数学模型： $\sum_{u=1}^{n}[f(t_{u})\cdot \bigtriangleup t\cdot e^{-k(t_{i}-t_{u})}]$
使 $\bigtriangleup t\rightarrow 0$ ： $\int_{0}^{t_{i}}f(t)\cdot e^{-k(t_{i}-t)}dt=f(t_{i})\ast e^{-kt_{i}}$ ，（把 $t$ 看成公式的 $u$ ，把 $t_{i}$ 看成公式的 $t$ ）
同理：假如倾倒的不是放射性物质，只是垃圾，那么衰减率 $e^{-kt_{i}}=1$ ，求量的结果是 $f(t_{i})\ast 1$
同理：假如物质是以 $t$ 的速率增长，求量的结果是 $f(t_{i})\ast t$

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