高等数学公式及其结论by戏言3.0

0.高等数学基础篇

0.1三角函数

1.三倍角公式

sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3αcos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡α\sin 3\alpha =3\sin\alpha -4\sin^{3}\alpha\\ \cos 3\alpha =4\cos^{3}\alpha-3\cos\alpha sin3α=3sinα−4sin3αcos3α=4cos3α−3cosα

2.积化和差公式

sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]sin⁡αsin⁡β=−12[cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)]\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\sin\left( \alpha+\beta \right)+\sin\left( \alpha-\beta \right)\right] \\ \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left[\sin\left( \alpha+\beta \right)-\sin\left( \alpha-\beta \right)\right] \\ \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\cos\left( \alpha+\beta \right)+\cos\left( \alpha-\beta \right)\right] \\ \sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left[\cos\left( \alpha+\beta \right)-\cos\left( \alpha-\beta \right)\right] \\ sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]cosαsinβ=21[sin(α+β)−sin(α−β)]cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(α−β)]sinαsinβ=−21[cos(α+β)−cos(α−β)]

3.积化和差公式

sin⁡α+sinβ=2sinα+β2cos⁡α−β2sin⁡α−sinβ=2cosα+β2sin⁡α−β2cos⁡α+cosβ=2cosα+β2cos⁡α−β2cos⁡α−cosβ=−2sinα+β2sin⁡α−β2\sin \alpha+sin\beta=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \sin \alpha-sin\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos \alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos \alpha-cos\beta=-2sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\ sinα+sinβ=2sin2α+βcos2α−βsinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−βcosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−βcosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β

4.万能公式

sin⁡α=2tan⁡α21+tan⁡2α2cos⁡α=1−tan⁡2α21+tan⁡2α2tan⁡α=2tan⁡α21−tan⁡2α2\sin\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}\\ \cos\alpha=\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}\\ \tan\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}\\ sinα=1+tan22α2tan2αcosα=1+tan22α1−tan22αtanα=1−tan22α2tan2α

记忆方法，勾股数 2t、1−t2、1+t22t、1-t^2、1+t^22t、1−t2、1+t2

0.2等式

1.常用等式

arctan⁡ex+arctan⁡e−x=π2arctan⁡x+arctan⁡1x=π2\large\arctan e^{x} +\arctan e^{-x}=\frac{\pi}{2}\\ \large\arctan x +\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2} arctanex+arctane−x=2πarctanx+arctanx1=2π

arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x +\arccos x=\frac{\pi}{2} arcsinx+arccosx=2π

arctan⁡x+arccotx=π2\arctan x +arccot x=\frac{\pi}{2} arctanx+arccotx=2π

I=∫0+∞e−x2dx=π2可以用二重积分方法证明I=\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\quad 可以用二重积分方法证明 I=∫0+∞e−x2dx=2π可以用二重积分方法证明

sin⁡nπ=0,cos⁡nπ=(−1)n∫0+∞e−axdx=1a∫0+∞sin⁡xxdx=π2∫ab(x−a+b2)dx=0中值定理可能用到∫01xm(1−x)ndx=∫01xn(1−x)mdx\large\sin n\pi=0,\cos n\pi=(-1)^n\\ \int_{0}^{+\infty}e^{-ax}dx=\frac{1}{a}\\ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}\\ \int_{a}^{b}(x-\frac{a+b}{2})dx=0\quad 中值定理可能用到\\ \int_{0}^{1}x^m(1-x)^ndx=\int_{0}^{1}x^n(1-x)^mdx\\ sinnπ=0,cosnπ=(−1)n∫0+∞e−axdx=a1∫0+∞xsinxdx=2π∫ab(x−2a+b)dx=0中值定理可能用到∫01xm(1−x)ndx=∫01xn(1−x)mdx

(xx)′=xx(1+ln⁡x)sin⁡(α+nπ)=(−1)nsin⁡nαΓ函数Γ(α)=∫0+∞xα−1e−xdxΓ(α)=2∫0+∞x2α−1e−x2dxΓ(α+1)=αΓ(α)Γ(1)=1Γ(12)=πΓ(n+1)=n!(x^x)'=x^x(1+\ln x)\\ \sin(\alpha+n\pi)=(-1)^n\sin n\alpha\\ \Gamma函数\\ \large\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}{x^{\alpha-1}e^{-x}dx}\\ \large\Gamma(\alpha)=2\int_0^{+\infty}{x^{2\alpha-1}e^{-x^2}dx}\\ \Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)\\ \Gamma(1)=1\\ \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\\ \Gamma(n+1)=n!\\ (xx)′=xx(1+lnx)sin(α+nπ)=(−1)nsinnαΓ函数Γ(α)=∫0+∞xα−1e−xdxΓ(α)=2∫0+∞x2α−1e−x2dxΓ(α+1)=αΓ(α)Γ(1)=1Γ(21)=πΓ(n+1)=n!

2.重要变换

n+1±n=1n+1∓n\sqrt{n+1}\pm\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}\mp\sqrt{n}} n+1±n=n+1∓n1

arctan⁡x±arctany=x±y1∓xy\arctan x\pm arctany=\frac{x\pm y}{1\mp xy} arctanx±arctany=1∓xyx±y

∣xn−A∣<kn−1∣x1∣lim⁡n→∞kn−1∣x1∣=0⇒lim⁡n→∞∣xn∣=0\left|x_n-A \right|<k^{n-1}\left|x_1\right|\quad\lim_{n \to \infty} k^{n-1}\left|x_1\right|=0\Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left|x_n\right| =0 ∣xn−A∣<kn−1∣x1∣n→∞limkn−1∣x1∣=0⇒n→∞lim∣xn∣=0

x±x2+1=1x2+1∓xx\pm\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}\mp x} x±x2+1=x2+1∓x1

(x±1x)dx=xd(x∓1x)(x\pm\frac{1}{x})\mathrm{d}x=x\mathrm{d}(x\mp\frac{1}{x}) (x±x1)dx=xd(x∓x1)

有限和与积分和
∑k=1nf(a+b−ank)b−an=xk=a+kb−an∑k=1n∫xk−1xkf(xk)dx特别的∑k=1nf(kn)1n=xk=kn∑k=1n∫xk−1xkf(xk)dx\sum\limits_{k=1}^{n} f(a+\frac{b-a}{n}k)\frac{b-a}{n}\xlongequal{x_k=a+k\frac{b-a}{n}}\sum\limits_{k=1}^{n} \int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x_k)dx\quad\quad \\ 特别的\sum\limits_{k=1}^{n} f(\frac{k}{n})\frac{1}{n}\xlongequal{x_k=\frac{k}{n}}\sum\limits_{k=1}^{n} \int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x_k)dx\quad\quad k=1∑nf(a+nb−ak)nb−axk=a+knb−ak=1∑n∫xk−1xkf(xk)dx特别的k=1∑nf(nk)n1xk=nkk=1∑n∫xk−1xkf(xk)dx
积分与积分和
∫abf(x)dx=∑k=1n∫xk−1xkf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum\limits_{k=1}^{n} \int_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)dx ∫abf(x)dx=k=1∑n∫xk−1xkf(x)dx
级数与积分
∫abf(x)dx=lim⁡n→∞∑k=1nf(a+b−ank)b−an=lim⁡n→∞∑k=0n−1f(a+b−ank)b−an\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n} f(a+\frac{b-a}{n}k)\frac{b-a}{n}=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^{n-1} f(a+\frac{b-a}{n}k)\frac{b-a}{n} ∫abf(x)dx=n→∞limk=1∑nf(a+nb−ak)nb−a=n→∞limk=0∑n−1f(a+nb−ak)nb−a

0.3不等式

1.绝对值不等式

积分形式：
∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx\left|\int_{a}^{b} f\left(x\right) dx\right|\leq \int_{a}^{b}\left|f\left(x\right)\right|dx ∣∣∣∣∣∫abf(x)dx∣∣∣∣∣≤∫ab∣f(x)∣dx

2.柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ab=cd\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geq \left(ac+bd\right)^2 当且仅当 ab=cd (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ab=cd

一般形式：
∑i=1nai2∑i=1nbi2≥(∑i=1naibi)2\sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{i=1}^n b_i^2 \geq \left(\sum\limits_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 i=1∑nai2i=1∑nbi2≥(i=1∑naibi)2

积分形式：证明积分题常用看到平方想柯西,当且仅当线性相关时成立

(∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^2\leq\int_{a}^{b}f^2(x)dx\int_{a}^{b}g^2(x)dx (∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx
判别式：证明柯西的工具
∑k=1n(λak−bk)2≥0\sum\limits_{k=1}^{n}(\lambda a_k-b_k)^2 \geq0 k=1∑n(λak−bk)2≥0

3. 均值不等式

常见形式:
21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22\frac 2{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq \sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} a1+b12≤ab≤2a+b≤2a2+b2

一般形式：
n∑i=1n1ai≤∏i=1nain≤∑i=1nain≤∑i=1nai2n\frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}\leq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_i}\leq \frac{\sum\limits_{i=1}^n a_i}{n}\leq \sqrt \frac{\sum\limits_{i=1}^n{a_i^2}}{n} i=1∑nai1n≤ni=1∏nai≤ni=1∑nai≤ni=1∑nai2

4.其他不等式

(n2)n2≤n!≤(n+12)n(1+1n)n≤e≤(1+1n)n+1x−1≤⌊x⌋≤x≤⌈x⌉≤x+12πx<sin⁡x<x<tan⁡x0<x<π2arctan⁡x≤x≤arcsin⁡x0≤x≤111+x<ln⁡(1+1x)<1xx1+x≤ln⁡(1+x)≤x∫0af(x)dx+∫0bf−1(x)dx>=ab,当且仅当b=f(a)(∫0af(x)g(x)dx)2≤∫0af2(x)dx∫0ag2(x)dx1≤nn≤1+xn∏i=1n(1+ai)≥1+∑i=1nai注：ai>−1且同号放缩常用(1+h)n≥1+nh(1+1n)n<e当f(x)单调递增∑i=0n−1f(xi)1n≤∫01f(x)dx≤∑i=1nf(xi)1n\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\leq n!\leq\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leq e\leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\\ x-1\leq \left\lfloor{x}\right\rfloor\leq{x}\leq \left\lceil{x}\right\rceil \leq{x+1}\\ \frac{2}{\pi}x<\sin x < x < \tan x \quad 0 < x <\frac{\pi}{2} \\ \arctan x \leq x \leq \arcsin x \quad 0 \leq x \leq 1 \\ \large\frac{1}{1+x}<\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x}\\ \frac{x}{1+x}\leq\ln\left(1+x\right)\leq x \\ \int_{0}^{a}f(x)dx+\int_{0}^{b}f^{-1}(x)dx>=ab,当且仅当b=f(a)\\ \large(\int_{0}^{a}f(x)g(x)dx)^2\leq\int_{0}^{a}f^2(x)dx\int_{0}^{a}g^2(x)dx 1\leq\sqrt[n]n\leq1+\frac{x}{\sqrt{n}}\\ \prod\limits_{i=1}^{n}(1+a_i)\geq1+\sum\limits_{i=1}^{n}a_i注：a_i>-1且同号放缩常用\\ (1+h)^n\geq1+nh\\ (1+\frac{1}{n})^n\lt e\\ 当f(x)单调递增\\ \sum\limits_{i=0}^{n-1} f(x_i)\frac{1}{n}\leq\int_{0}^{1}f(x)dx\leq \sum\limits_{i=1}^n f(x_i)\frac{1}{n}\\ (2n)2n≤n!≤(2n+1)n(1+n1)n≤e≤(1+n1)n+1x−1≤⌊x⌋≤x≤⌈x⌉≤x+1π2x<sinx<x<tanx0<x<2πarctanx≤x≤arcsinx0≤x≤11+x1<ln(1+x1)<x11+xx≤ln(1+x)≤x∫0af(x)dx+∫0bf−1(x)dx>=ab,当且仅当b=f(a)(∫0af(x)g(x)dx)2≤∫0af2(x)dx∫0ag2(x)dx1≤nn≤1+nxi=1∏n(1+ai)≥1+i=1∑nai注：ai>−1且同号放缩常用(1+h)n≥1+nh(1+n1)n<e当f(x)单调递增i=0∑n−1f(xi)n1≤∫01f(x)dx≤i=1∑nf(xi)n1

泰勒展开丢项放缩

f(x)=f(a)+f′(x)(x−a)+f′’(ξ)2(x−a)2f(x)=f(a)+f{'}(x)(x-a)+\frac{f{'’}(\xi)}{2}(x-a)^2f(x)=f(a)+f′(x)(x−a)+2f′’(ξ)(x−a)2

当f′’(ξ)>0则f(x)≥f(a)+f′(x)(x−a)f{'’}(\xi)>0则f(x)\geq f(a)+f{'}(x)(x-a)f′’(ξ)>0则f(x)≥f(a)+f′(x)(x−a)

斯特林公式
n!=2πn(ne)neθ12n,0<θ<1n!≈2πn(ne)n,n充分大2πn(ne)n<n!<2πn(ne)n(1+112n−1){n!=\sqrt{{2 \pi n}}{\mathop{{ \left( {\frac{{n}}{{e}}} \right) }}\nolimits^{{n}}}\mathop{{e}}\nolimits^{{\frac{{ \theta }}{{12n}}}},0 < \theta < 1}\\ {n! \approx \sqrt{{2 \pi n}}\mathop{{ \left( {\frac{{n}}{{e}}} \right) }}\nolimits^{{n}},n\text{充}\text{分}\text{大}}\\ {\sqrt{{2 \pi n}}\mathop{{ \left( {\frac{{n}}{{e}}} \right) }}\nolimits^{{n}} < n! < \sqrt{{2 \pi n}}\mathop{{ \left( {\frac{{n}}{{e}}} \right) }}\nolimits^{{n}}{ \left( {1+\frac{{1}}{{12n-1}}} \right) }} n!=2πn(en)ne12nθ,0<θ<1n!≈2πn(en)n,n充分大2πn(en)n<n!<2πn(en)n(1+12n−11)

1.一元微分学

1.重要极限

lim⁡x→∞(1+ax)x=ea\large\lim\limits_{x\to \infty} \left(1+\frac{a}{x}\right)^x=e^ax→∞lim(1+xa)x=ea
lim⁡x→0sin⁡axx=a\large \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin ax}{x}=ax→0limxsinax=a
lim⁡x→+∞arctan⁡x=π2\large\lim\limits_{x\to +\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2}x→+∞limarctanx=2π lim⁡x→−∞arctan⁡x=−π2\large\lim\limits_{x\to -\infty}\arctan x=-\frac{\pi}{2}x→−∞limarctanx=−2π
∀a>0lim⁡x→+∞xaex=lim⁡x→0+xaln⁡x=0\large \forall a>0 \quad \lim\limits_{x\to +\infty} \frac{x^a}{e^x}=\lim\limits_{x\to 0^+}x^a\ln x =0∀a>0x→+∞limexxa=x→0+limxalnx=0
lim⁡x→0+xx=1\large\lim\limits_{x\to 0^+}x^x=1x→0+limxx=1
设a>0lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞nn=1\large设a>0\quad \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1设a>0n→∞limna=n→∞limnn=1
lim⁡u=1lim⁡v=∞}⇒lim⁡uv=elim(u−1)v\left. \begin{aligned} \lim u=1 \\ \lim v=\infty \end{aligned} \right\}\Rightarrow \lim u^v=e^{lim(u-1)v} limu=1limv=∞}⇒limuv=elim(u−1)v
lim⁡x→0f(x)x=0\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0x→0limxf(x)=0并且连续
lim⁡x→0f(x)x=0∥andlim⁡x→0f(x)=f(0)⇒{f(0)=0f′(0)=0\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0\|and\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)\Rightarrow\left\{ \begin{aligned} f(0)=0\\ f^{'}(0)=0\\ \end{aligned} \right. x→0limxf(x)=0∥andx→0limf(x)=f(0)⇒{f(0)=0f′(0)=0

欧拉常数lim⁡n→∞(1+12+13+⋯+1n−ln⁡n)=r≈0.577使用单调有界可以证明\large欧拉常数 \lim\limits_{n\to\infty}{(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \cdots+\frac{1}{n}-\ln{n})=r\approx0.577}使用单调有界可以证明欧拉常数n→∞lim(1+21+31+⋯+n1−lnn)=r≈0.577使用单调有界可以证明

2.重要结论

lim⁡n→∞an=A⇒lim⁡n→∞∣an∣=Alim⁡n→∞∣an∣⇔lim⁡n→∞an=0lim⁡n→∞an=a⇒lim⁡n→∞an=a{an}有界∥andlim⁡n→∞bn=0⇒lim⁡n→∞anbn=0{an}{bn}其中一个收敛一个发散⇒{an+bn}发散拉链定理理:lim⁡n→∞an=A⇔lim⁡n→∞a2n=lim⁡n→∞a2n+1=Astolz公式∗∞型若{bn}严格单调增∥andlim⁡n→∞bn=+∞⇒lim⁡n→∞anbn=A00型若{bn}严格单调减趋于0∥andlim⁡n→∞an=0⇒lim⁡n→∞anbn=Alim⁡n→∞an=A⇒a1+a2+a3⋯ann=A\begin{array}{ll} \lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=A\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=A\\ \lim\limits_{n\to\infty}|a_n|\Leftrightarrow\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\\ \lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=a\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{a_n}=\sqrt{a}\\ \{a_n\}有界\|and\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}{a_nb_n}=0\\ \{a_n\}\{b_n\}其中一个收敛一个发散\Rightarrow\{a_n+b_n\}发散\\ 拉链定理理:\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\Leftrightarrow\lim\limits_{n\to\infty}a_{2n}=\lim\limits_{n\to\infty}a_{2n+1}=A\\ stolz公式\\ \frac{*}{\infty}型\quad\quad 若\{b_n\}严格单调增\|and\lim\limits_{n\to\infty}b_n=+\infty\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=A\\ \frac{0}{0}型\quad\quad若\{b_n\}严格单调减趋于0\|and\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=A\\ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\Rightarrow\frac{a_1+a_2+a_3\cdots a_n}{n}=A\\ \end{array} n→∞liman=A⇒n→∞lim∣an∣=An→∞lim∣an∣⇔n→∞liman=0n→∞liman=a⇒n→∞liman=a{an}有界∥andn→∞limbn=0⇒n→∞limanbn=0{an}{bn}其中一个收敛一个发散⇒{an+bn}发散拉链定理理:n→∞liman=A⇔n→∞lima2n=n→∞lima2n+1=Astolz公式∞∗型若{bn}严格单调增∥andn→∞limbn=+∞⇒n→∞limbnan=A00型若{bn}严格单调减趋于0∥andn→∞liman=0⇒n→∞limbnan=An→∞liman=A⇒na1+a2+a3⋯an=A

3.常用等价无穷小

sin⁡x∼x∼tan⁡x∼arcsin⁡x∼arctan⁡x∼ln⁡(1+x)∼ex−1\sin x \sim x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln \left(1+x\right)\sim e^x-1sinx∼x∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼ln(1+x)∼ex−1

$ a^x-1 \sim x \ln a $	$ 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2 $	$ \left(1+x\right)^a -1\sim ax $
n!∼2πn(ne)nn! \sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^nn!∼2πn(en)n	xn∼1+xn−1\frac{x}{n} \sim \sqrt[n]{1+x}-1nx∼n1+x−1	logax∼xln⁡alog _a x\sim \frac{x}{\ln a}logax∼lnax
x−sin⁡x∼16x3x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^3x−sinx∼61x3	arcsin⁡x−x∼16x3\arcsin x-x \sim \frac{1}{6}x^3arcsinx−x∼61x3	ln⁡(x+1+x2)∼x\ln{(x+\sqrt{1+x^2})}\sim xln(x+1+x2)∼x
x−arctan⁡x=x33x-\arctan x=\frac{x^3}{3}x−arctanx=3x3	tan⁡x−x∼13x3\tan x -x\sim \frac{1}{3}x^3tanx−x∼31x3	x−ln⁡(1+x)=x22x-\ln (1+x)=\frac{x^2}{2}x−ln(1+x)=2x2

4.泰勒公式

sin⁡x=x−x33!+o(x3)=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!cos⁡x=1−x22!+x44!+o(x4)=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!arcsin⁡x=x+x33!+o(x3)=∑n=0∞(2n)!4n(n!)2(2n+1)x2n+1∣x∣<1arccos⁡x=π2−x−16x3+o(x3)tan⁡x=x+x33+o(x3)arctan⁡x=x−x33+o(x3)=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)∣x∣<1ln⁡(1+x)=x−x22+x33+o(x3)=∑n=1∞(−1)n+1xnn,−1<x≤1ex=1+x+x22!+x33!+o(x3)=∑n=0∞xnn!(1+x)a=1+ax+a(a−1)2!x2+o(x2)11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+x3,−1<x<11ax2+bx+c=1c−bc2x+b2−acc3x2....=1a(x2−x1)∑n=0∞(xnx1n+1−xnx2n+1)\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(-1\right)^n\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}}\\ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o\left(x^4\right)= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^n\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}\\ \arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\left(2n\right)!}{4^n\left(n!\right)^2\left(2n+1\right)}x^{2n+1} \quad \left|x\right|<1 \\ \arccos x=\frac{\pi}{2}-x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ \tan x=x+\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)\\ \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^n\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)} \quad \left|x\right|<1\\ \ln \left(1+x\right) =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n+1}\frac{x^n}{n} \quad,-1<x\leq 1\\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\\ \left(1+x\right)^a =1+ax+\frac{a\left(a-1\right)}{2!}x^2+o\left(x^2\right)\\ \frac{1}{1-x}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n =1+x+x^2+x^3 ,-1<x<1\\ \frac{1}{ax^2+bx+c}=\frac{1}{c}-\frac{b}{c^2}x+ \frac{b^2-ac}{c^3}x^2.... =\frac{1}{a(x_2-x_1)}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(\frac{x^n }{x_1^{n+1}}-\frac{x^n }{x_2^{n+1}})\\ sinx=x−3!x3+o(x3)=n=0∑∞(−1)n(2n+1)!x2n+1cosx=1−2!x2+4!x4+o(x4)=n=0∑∞(−1)n(2n)!x2narcsinx=x+3!x3+o(x3)=n=0∑∞4n(n!)2(2n+1)(2n)!x2n+1∣x∣<1arccosx=2π−x−61x3+o(x3)tanx=x+3x3+o(x3)arctanx=x−3x3+o(x3)=n=0∑∞(−1)n(2n+1)x2n+1∣x∣<1ln(1+x)=x−2x2+3x3+o(x3)=n=1∑∞(−1)n+1nxn,−1<x≤1ex=1+x+2!x2+3!x3+o(x3)=n=0∑∞n!xn(1+x)a=1+ax+2!a(a−1)x2+o(x2)1−x1=n=0∑∞xn=1+x+x2+x3,−1<x<1ax2+bx+c1=c1−c2bx+c3b2−acx2....=a(x2−x1)1n=0∑∞(x1n+1xn−x2n+1xn)

助记图

彼此之间相差x36\large\frac{x^3}{6}6x3

5.中值定理

5.1辅助函数

常见辅助函数

y=eλxf(x)y′=eλx(λf(x)+f′(x))y=e^{\lambda x}f(x)\quad y^{'}=e^{\lambda x}(\lambda f(x)+f^{'}(x))y=eλxf(x)y′=eλx(λf(x)+f′(x))

y=f(x)f′(x)y′=(f′(x))2+f(x)f′′(x)y=f(x)f'(x)\quad y^{'}=(f^{'}(x))^2+f(x)f^{''}(x)y=f(x)f′(x)y′=(f′(x))2+f(x)f′′(x)

y=ln⁡f(x)y′=f′(x)f(x)y=\ln f(x)\quad y^{'}=\frac{f^{'}(x)}{f(x)}y=lnf(x)y′=f(x)f′(x)

5.2利用微分方程构造辅助函数

f′(ξ)=(1−1ξf(ξ))⇒y′=(1−1x)y⇒y=cexx)⇒c(x)=xf(x)exf'(\xi)=(1-\frac{1}{\xi}f(\xi))\Rightarrow y^{'}=(1-\frac{1}{x})y\\ \Rightarrow y=\frac{c e^x}{x})\Rightarrow c(x)=\frac{xf(x)}{e^x} f′(ξ)=(1−ξ1f(ξ))⇒y′=(1−x1)y⇒y=xcex)⇒c(x)=exxf(x)

5.3.拉格朗日中值定理

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)ξ∈(a,b)f(x+Δx)−f(x)=f′(x+θΔx)Δx0<θ<1f(b)-f(a)=f^{'}(\xi)(b-a)\quad \xi \in(a,b)\\ f(x+\Delta x)-f(x)=f^{'}(x+\theta \Delta x)\Delta x \quad0<\theta<1 f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)ξ∈(a,b)f(x+Δx)−f(x)=f′(x+θΔx)Δx0<θ<1

6.高阶导数

(xn)(n)=n!(ax)(n)=ax(ln⁡a)n(sin⁡(ax+b))(n)=ansin⁡(ax+b+nπ2)(cos⁡(ax+b))(n)=ancos⁡(ax+b+nπ2)(1a−x)(n)=n!(a−x)n+1(1a+x)(n)=(−1)nn!(a+x)n+1ln⁡(ax+b)(n)=(−1)n−1an(n−1)!(ax+b)n\begin{array}{ll} (x^n)^{(n)}=n!\quad (a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n\quad (\sin (ax+b))^{(n)}=a^n\sin(ax+b+\frac{n\pi}{2})\\ (\cos (ax+b))^{(n)}=a^n\cos(ax+b+\frac{n\pi}{2})\qquad\qquad\qquad\quad\large(\frac{1}{a-x})^{(n)}=\frac{n!}{(a-x)^{n+1}}\\ \large (\frac{1}{a+x})^{(n)}=\frac{(-1)^n n!}{(a+x)^{n+1}}\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\large\ln (ax+b)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}a^n(n-1)!}{(ax+b)^{n}} \end{array} (xn)(n)=n!(ax)(n)=ax(lna)n(sin(ax+b))(n)=ansin(ax+b+2nπ)(cos(ax+b))(n)=ancos(ax+b+2nπ)(a−x1)(n)=(a−x)n+1n!(a+x1)(n)=(a+x)n+1(−1)nn!ln(ax+b)(n)=(ax+b)n(−1)n−1an(n−1)!

2.一元积分学

1.积分表

∫kdx=kx+C∫xμdx=xμ+1μ+1+C,(μ≠−1)∫1xdx=ln∣x∣+C∫11+x2dx=arctanx+C∫11−x2dx=arcsinx+C∫cosdx=sinx+C∫cosdx=sinx+C∫sinxdx=−cosx+C∫1cos2xdx=∫sec2xdx=tanx+C∫1sin2xdx=∫csc2xdx=−cotx+C∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=−cscx+C∫sin⁡2x=x2−sin⁡2x4+C∫cos⁡2x=x2+sin⁡2x4+C∫exdx=ex+C∫axdx=axlna+C{{}_{ }^{ } \int _{ }^{ }k \text{d} x=kx+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\mathop{{x}}\nolimits^{{ \mu }} \text{d} x=\frac{{\mathop{{x}}\nolimits^{{ \mu +1}}}}{{ \mu +1}}+C,{ \left( { \mu \neq -1} \right) }}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\frac{{1}}{{x}} \text{d} x= \text{ln} { \left| {x} \right| }+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\frac{{1}}{{1+\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}}} \text{d} x= \text{arctan} x+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\frac{{1}}{{\sqrt{{1-\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}}}}} \text{d} x= \text{arcsin} x+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ } \text{cos} \text{d} x= \text{sin} x+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ } \text{cos} \text{d} x= \text{sin} x+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ } \text{sin} x \text{d} x=- \text{cos} x+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\frac{{1}}{{\mathop{{ \text{cos} }}\nolimits^{{2}}x}} \text{d} x={}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\mathop{{ \text{sec} }}\nolimits^{{2}}x \text{d} x= \text{tan} x+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\frac{{1}}{{\mathop{{ \text{sin} }}\nolimits^{{2}}x}} \text{d} x={}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\mathop{{ \text{csc} }}\nolimits^{{2}}x \text{d} x=- \text{cot} x+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ } \text{sec} x \text{tan} x \text{d} x= \text{sec} x+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ } \text{csc} x \text{cot} x \text{d} x=- \text{csc} x+C}\\ \int \sin^2 x=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C\\ \int \cos^2 x=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\mathop{{e}}\nolimits^{{x}} \text{d} x=\mathop{{e}}\nolimits^{{x}}+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\mathop{{a}}\nolimits^{{x}} \text{d} x=\frac{{\mathop{{a}}\nolimits^{{x}}}}{{ \text{ln} a}}+C}\\ ∫kdx=kx+C∫xμdx=μ+1xμ+1+C,(μ=−1)∫x1dx=ln∣x∣+C∫1+x21dx=arctanx+C∫1−x21dx=arcsinx+C∫cosdx=sinx+C∫cosdx=sinx+C∫sinxdx=−cosx+C∫cos2x1dx=∫sec2xdx=tanx+C∫sin2x1dx=∫csc2xdx=−cotx+C∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=−cscx+C∫sin2x=2x−4sin2x+C∫cos2x=2x+4sin2x+C∫exdx=ex+C∫axdx=lnaax+C

∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C∫cotxdx=ln∣sinx∣+C∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C∫tan⁡x=tan⁡x−x+C∫cot⁡x=−cot⁡x−x+C∫1x2+a2dx=1aarctanxa+C∫1x2−a2dx=12aln∣x−ax+a∣+C∫1a2−x2dx=arcsinxa+C∫1x2+a2dx=ln(x+x2+a2)+C∫1x2−a2dx=ln(x+x2−a2)+C∫a2−x2dx=x2a2−x2+a22arcsin⁡xa+C∫x2±a2dx=x2x2±a2+a22ln⁡∣x+x2±a2∣+C{{}_{ }^{ } \int _{ }^{ } \text{sh} x \text{d} x= \text{ch} x+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ } \text{ch} xdx= \text{sh} x+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ } \text{tan} x \text{d} x=- \text{ln} { \left| { \text{cos} x} \right| }+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ } \text{cot} x \text{d} x= \text{ln} { \left| { \text{sin} x} \right| }+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ } \text{sec} x \text{d} x= \text{ln} { \left| { \text{sec} x+ \text{tan} x} \right| }+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ } \text{csc} x \text{d} x= \text{ln} { \left| { \text{csc} x- \text{cot} x} \right| }+C}\\ \int \tan x=\tan x-x+C\\ \int \cot x=-\cot x-x+C\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\frac{{1}}{{\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}+\mathop{{a}}\nolimits^{{2}}}} \text{d} x=\frac{{1}}{{a}} \text{arctan} \frac{{x}}{{a}}+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\frac{{1}}{{\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}-\mathop{{a}}\nolimits^{{2}}}} \text{d} x=\frac{{1}}{{2a}} \text{ln} { \left| {\frac{{x-a}}{{x+a}}} \right| }+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\frac{{1}}{{\sqrt{{\mathop{{a}}\nolimits^{{2}}-\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}}}}} \text{d} x= \text{arcsin} \frac{{x}}{{a}}+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\frac{{1}}{{\sqrt{{\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}+\mathop{{a}}\nolimits^{{2}}}}}} \text{d} x= \text{ln} { \left( {x+\sqrt{{\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}+\mathop{{a}}\nolimits^{{2}}}}} \right) }+C}\\ {{}_{ }^{ } \int _{ }^{ }\frac{{1}}{{\sqrt{{\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}-\mathop{{a}}\nolimits^{{2}}}}}} \text{d} x= \text{ln} { \left( {x+\sqrt{{\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}-\mathop{{a}}\nolimits^{{2}}}}} \right) }+C}\\ \int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C\\ \int \sqrt{x^2\pm a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}+\frac{a^2}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C ∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C∫cotxdx=ln∣sinx∣+C∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C∫tanx=tanx−x+C∫cotx=−cotx−x+C∫x2+a21dx=a1arctanax+C∫x2−a21dx=2a1ln∣∣∣∣x+ax−a∣∣∣∣+C∫a2−x21dx=arcsinax+C∫x2+a21dx=ln(x+x2+a2)+C∫x2−a21dx=ln(x+x2−a2)+C∫a2−x2dx=2xa2−x2+2a2arcsinax+C∫x2±a2dx=2xx2±a2+2a2ln∣∣∣x+x2±a2∣∣∣+C

2.常用定理及公式

1.f(x)f(x)f(x)为周期函数

∫0nTf(x)dx=nT22∫0Tf(x)dx∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx∫0nTf(x)dx=n∫0Tf(x)dx∫nπ(n+1)π∣sin⁡x∣dx=(−1)n∫nπ(n+1)πsin⁡xdx\int_{0}^{nT}f(x)dx=\frac{nT^2}{2}\int_{0}^{T}f(x)dx\\ \int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx\\ \int_{0}^{nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx\\ \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin x|dx=(-1)^n\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\sin xdx\\ ∫0nTf(x)dx=2nT2∫0Tf(x)dx∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx∫0nTf(x)dx=n∫0Tf(x)dx∫nπ(n+1)π∣sinx∣dx=(−1)n∫nπ(n+1)πsinxdx

2.积分再现公式

∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx

3.积分中值定理

若函数在闭区间[a,b]上连续,则∃ξ∈[a,b]∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)若f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上可积,且g(x)在此区间上不变号,则∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx{\text{若}\text{函}\text{数}\text{在}\text{闭}\text{区}\text{间}{ \left[ {a,b} \right] }\text{上}\text{连}\text{续}\text{,}\text{则}}\\ { \exists \xi \in { \left[ {a,b} \right] }}\\ {\mathop{ \int }\nolimits_{{a}}^{{b}}f{ \left( {x} \right) } \text{d} x=f{ \left( { \xi } \left) { \left( {b-a} \right) }\right. \right. }}\\ {\text{若}f{ \left( {x} \right) }\text{和}g{ \left( {x} \right) }\text{在}\text{闭}\text{区}\text{间}{ \left[ {a,b} \right] }\text{上}\text{可}\text{积}\text{,}\text{且}g{ \left( {x} \right) }\text{在}\text{此}\text{区}\text{间}\text{上}\text{不}\text{变}\text{号}\text{,}\text{则}}\\ {\mathop{ \int }\nolimits_{{a}}^{{b}}f{ \left( {x} \right) }g{ \left( {x} \right) } \text{d} x=f{ \left( { \xi } \right) }\mathop{ \int }\nolimits_{{a}}^{{b}}g{ \left( {x} \right) } \text{d} x} 若函数在闭区间[a,b]上连续,则∃ξ∈[a,b]∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)若f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上可积,且g(x)在此区间上不变号,则∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx

3.反常积分敛散性

∫0π21sin⁡αxdx与∫0π21cos⁡αxdx与∫0π21xαdx同敛散{0<α<1,收敛α≥1,发散\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin^{\alpha}x}dx与\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cos^{\alpha}x}dx与\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{x^\alpha}dx同敛散\left\{ \begin{aligned} 0<\alpha<1,收敛\\ \alpha\geq1,发散 \end{aligned} \right. ∫02πsinαx1dx与∫02πcosαx1dx与∫02πxα1dx同敛散{0<α<1,收敛α≥1,发散

∫2∞1xln⁡pxdx{p≤1,发散p>1,收敛\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln^px}dx\left\{ \begin{aligned} p\leq1,发散\\ p>1,收敛 \end{aligned} \right. ∫2∞xlnpx1dx{p≤1,发散p>1,收敛

4.积分换元法

无理根式换元法

∫R(x,ax+bcx+dn)dx\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx∫R(x,ncx+dax+b)dx类型不定积分

令t=ax+bcx+dnt=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}t=ncx+dax+b

∫R(x,ax+bcx+dn)dx\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx∫R(x,ncx+dax+b)dx

∫R(x,ax2+bx+cn)dx\int R(x,\sqrt[n]{ax^2+bx+c})dx∫R(x,nax2+bx+c)dx类型不定积分(欧拉替换法)

ax2+bx+cn={t−axa>0xt−cc>0t(x−λ)或t(x−μ)Δ>0方程有两个根λ,μ\sqrt[n]{ax^2+bx+c}=\left\{ \begin{array}{l} t-\sqrt ax\quad\quad\quad\quad\quad\quad a>0\\ xt-\sqrt c \quad\quad\quad\quad\quad\quad c>0\\ t(x-\lambda)或t(x-\mu)\quad \Delta>0方程有两个根\lambda,\mu\\ \end{array} \right. nax2+bx+c=⎩⎨⎧t−axa>0xt−cc>0t(x−λ)或t(x−μ)Δ>0方程有两个根λ,μ

3.多元微分学

1.二元拉格朗日中值定理

f(x1,y1)−f(x2,y2)=∇f(ξ,η)(Δx,Δy)=fx′(ξ,η)(x1−x2)+fy′(ξ,η)(y1−y2)ξ∈(x1,x2),η∈(y1,y2)f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=fx′(x+θΔx,y+θΔy)Δx+fy′(x+θΔx,y+θΔy)Δy0<θ<1\large f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)=\nabla f(\xi,\eta)(\Delta x,\Delta y)\\ = f_x^{'}(\xi,\eta)(x_1-x_2)+f_y^{'}(\xi,\eta)(y_1-y_2)\quad \xi \in(x_1,x_2),\eta \in(y_1,y_2)\\ \large f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=f_x^{'}(x+\theta\Delta x,y+\theta\Delta y)\Delta x+f_y^{'}(x+\theta\Delta x,y+\theta\Delta y)\Delta y \\\quad0<\theta<1 f(x1,y1)−f(x2,y2)=∇f(ξ,η)(Δx,Δy)=fx′(ξ,η)(x1−x2)+fy′(ξ,η)(y1−y2)ξ∈(x1,x2),η∈(y1,y2)f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=fx′(x+θΔx,y+θΔy)Δx+fy′(x+θΔx,y+θΔy)Δy0<θ<1

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