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无穷级数收敛性判断

定义

∑n=1∞un=u1+u2+...+un+...叫无穷级数Sn=u1+u2+...+un叫级数的前n项和∑n=1∞un收敛⟺lim⁡n→+∞Sn存在∑n=1∞un收敛→lim⁡n→∞unlim⁡n→∞un存在=0(必要条件)∑n=1∞(un+1−un)收敛⟺lim⁡n→∞unlim⁡n→∞un存在\begin{aligned} & \sum_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+...+u_n+...叫无穷级数\\ & S_n=u_1+u_2+...+u_n叫级数的前n项和\\ & \sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛 \iff \lim_{n\rightarrow +\infty}S_n存在\\ & \sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛 \rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}u_n\lim_{n\rightarrow\infty}u_n 存在=0(必要条件)\\ & \sum_{n=1}^{\infty}(u_{n+1}-u_n)收敛 \iff \lim_{n\rightarrow\infty}u_n\lim_{n\rightarrow\infty}u_n 存在 \end{aligned} n=1∑∞un=u1+u2+...+un+...叫无穷级数Sn=u1+u2+...+un叫级数的前n项和n=1∑∞un收敛⟺n→+∞limSn存在n=1∑∞un收敛→n→∞limunn→∞limun存在=0(必要条件)n=1∑∞(un+1−un)收敛⟺n→∞limunn→∞limun存在

正项级数

名称	具体
收敛原则	∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞un收敛⇔\Leftrightarrow⇔部分和Sn{S_n}Sn有界
比较判别法	大的收敛⇒\Rightarrow⇒小的收敛，小的发散⇒\Rightarrow⇒大的发散
比较判别法的极限形式	$\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{u_n}{v_n}=A= \begin{cases} 0 & v_n收敛\Rightarrow u_n也收敛\ +\infty& v_n发散\Rightarrow u_n也发散 \ C& v_n与u_n有相同的敛散性 \end{cases} \$
比值判别法	$\lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{u_{n+1}}{u_n}=\rho= \begin{cases} \rho<1 & 收敛\ \rho>1& 发散 \\rho=1& 失效\ \end{cases} \$
根植判别法	$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho= \begin{cases} \rho<1 & 收敛\ \rho>1& 发散 \\rho=1& 失效 \ \end{cases} \$
积分判别法	若存在[a,+∞][a,+\infty][a,+∞]上单调减少的非负连续函数f(x)f(x)f(x),使得un=f(n)u_n=f(n)un=f(n),则级数∑n=a∞un\sum_{n=a}^{\infty}u_n∑n=a∞un与反常积分∫a+∞f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)dx∫a+∞f(x)dx的收敛性相同

交错级数∑n=1∞(−1)n−1un,un>0\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n,u_n>0∑n=1∞(−1)n−1un,un>0

∣un∣单调不增且lim⁡n→∞un=0→级数收敛(不满足方法失效，可尝试拆项)(莱布尼茨判别法)|u_n|单调不增且\lim_{n \rightarrow \infty}u_n=0\rightarrow 级数收敛(不满足方法失效，可尝试拆项) \tag{莱布尼茨判别法} ∣un∣单调不增且n→∞limun=0→级数收敛(不满足方法失效，可尝试拆项)(莱布尼茨判别法)

任意项级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞un

∑n=1∞∣un∣收敛⇒∑n=1∞un绝对收敛∑n=1∞∣un∣发散,∑n=1∞un收敛⇒∑n=1∞un条件收敛\begin{aligned} & \sum_{n=1}^{\infty}|u_n|收敛 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}u_n绝对收敛\\ & \sum_{n=1}^{\infty}|u_n|发散,\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}u_n条件收敛\\ \end{aligned} n=1∑∞∣un∣收敛⇒n=1∑∞un绝对收敛n=1∑∞∣un∣发散,n=1∑∞un收敛⇒n=1∑∞un条件收敛

常用级数收敛性

等比级数∑n=1∞aqn−1{=a1−q,∣q∣<1发散,∣q∣⩾1p级数∑n=1∞1np{收敛,p>1发散,p⩽1广义p级数∑n=1∞1n(ln⁡n)p{收敛,p>1发散,p⩽1交错p级数∑n=1∞(−1)n−11np{绝对收敛,p>1条件收敛,0<p⩽1\begin{aligned} &等比级数\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1} \begin{cases} =\cfrac a{1-q},&|q|<1\\ 发散,& |q|\geqslant1 \end{cases} &p级数\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{n^p} \begin{cases} 收敛,&p>1\\ 发散,& p\leqslant1 \end{cases}\\ &广义p级数\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{n(\ln n)^p} \begin{cases} 收敛,&p>1\\ 发散,& p\leqslant1 \end{cases} &交错p级数\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\cfrac{1}{n^p} \begin{cases} 绝对收敛,&p>1\\ 条件收敛,& 0<p\leqslant1 \end{cases}\\ \end{aligned} 等比级数n=1∑∞aqn−1⎩⎨⎧=1−qa,发散,∣q∣<1∣q∣⩾1广义p级数n=1∑∞n(lnn)p1{收敛,发散,p>1p⩽1p级数n=1∑∞np1{收敛,发散,p>1p⩽1交错p级数n=1∑∞(−1)n−1np1{绝对收敛,条件收敛,p>10<p⩽1

常用结论

1.若∑n=1∞un收敛,则∑n=1∞∣un∣不定(反例:∑n=1∞(−1)n1n收敛,但∑n=1∞1n发散)2.设∑n=1∞un收敛,则{un⩾0时,∑n=1∞un2收敛(lim⁡n→∞un=0,从某项起,un<1,un2<un)un任意时,∑n=1∞un2不定(反例:∑n=1∞(−1)n1n收敛,但∑n=1∞1n发散)3.设∑n=1∞un收敛,则{un⩾0时,∑n=1∞unun+1收敛(un⋅un+1⩽un2+un+122)un任意时,∑n=1∞unun+1不定(反例:un=(−1)n1n,unun+1=(−1)n1n(−1)n+11n+1=−1n(n+1),级数发散)4.设∑n=1∞un收敛,则∑n=1∞(−1)nun不定(反例:∑n=1∞(−1)n1n收敛,但∑n=1∞1n发散)5.设∑n=1∞un收敛,则∑n=1∞(−1)nunn不定(反例:∑n=2∞(−1)n1ln⁡n收敛,但∑n=2∞1nln⁡n发散)6.设∑n=1∞un收敛,则{un⩾0时,∑n=1∞u2n,∑n=1∞u2n−1均收敛un任意时,∑n=1∞u2n,∑n=1∞u2n−1不定(反例:1−12+13−14+15−16+⋯=∑n=1∞(−1)n−11n收敛，但是其奇数项和与偶数项和都发散)7.设∑n=1∞un收敛,则∑n=1∞(u2n−1+u2n)收敛.(收敛级数任意加括号所得的新级数仍收敛,且和不变,但反过来推要增加lim⁡n→∞=0的条件,即∑n=1∞(u2n−1+u2n)收敛且lim⁡n→∞=0,则∑n=1∞un收敛,因S2n=(u1+u2)+(u3+u4)+⋯+(u2n−1+u2n),lim⁡n→∞S2n=S存在,S2n+1=S2n+u2n+1,lim⁡n→∞S2n+1=S+lim⁡n→∞u2n+1=S,即可得∑n=1∞un收敛）8.设∑n=1∞un收敛,则∑n=1∞(u2n−1−u2n)不定(反例：(u1+u2)+(u3+u4)+(u5+u6)+⋯=1−12+13−14+15−16+⋯收敛，但1+12+13+14+15+16+⋯发散)9.设∑n=1∞un收敛,则{∑n=1∞(un+un+1)收敛,∑n=1∞un+∑n=1∞un+1收敛∑n=1∞(un−un+1)收敛,∑n=1∞un−∑n=1∞un+1收敛10.若∑n=1∞∣un∣收敛,则∑n=1∞un收敛;若∑n=1∞un发散,则∑n=1∞∣un∣发散11.若∑n=1∞un2收敛,则∑n=1∞unn绝对收敛(∣unn∣⩽12(un2+1n2))12.设a,b,c为非零常数,且aun+bvn+cwn=0,则在∑n=1∞un,∑n=1∞vn,∑n=1∞wn中只要有两个级数是收敛的,另一个必收敛13.若∑n=1∞un收敛,∑n=1∞vn收敛,则∑n=1∞(un±vn)收敛14.若∑n=1∞un收敛,∑n=1∞vn发散,则∑n=1∞(un±vn)发散15.若∑n=1∞un收敛,∑n=1∞vn发散,则{un⩾0,vn⩾0时,∑n=1∞(un+vn)发散un,vn任意时,∑n=1∞(un±vn)不定16.若∑n=1∞un收敛,∑n=1∞vn收敛,则{un⩾0,vn⩾0时,∑n=1∞unvn收敛(un⋅vn⩽un2+vn22)un任意,vn⩾0时,∑n=1∞∣un∣⋅vn收敛(lim⁡n→∞∣un∣⋅vnvn=lim⁡n→∞∣un∣=0)un任意,vn任意时,∑n=1∞unvn不定\begin{aligned} 1.&若\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛,则\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|不定(反例:\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cfrac1n收敛,但\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac1n发散)\\ 2.&设\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛,则 \begin{cases} u_n\geqslant0时,\sum_{n=1}^{\infty}u_n^2收敛(\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0,从某项起,u_n<1,u_n^2<u_n)\\ u_n任意时,\sum_{n=1}^{\infty}u_n^2不定(反例:\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cfrac{1}{\sqrt{n}}收敛,但\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac1n发散) \end{cases}\\ 3.&设\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛,则 \begin{cases} u_n\geqslant0时,\sum_{n=1}^{\infty}u_nu_{n+1}收敛(u_n \cdot u_{n+1}\leqslant \cfrac{u_n^2+u_{n+1}^2}{2})\\ u_n任意时,\sum_{n=1}^{\infty}u_nu_{n+1}不定(反例:u_n=(-1)^n\cfrac{1}{\sqrt{n}},u_nu_{n+1}=(-1)^n\cfrac{1}{\sqrt{n}}(-1)^{n+1}\cfrac{1}{\sqrt{n+1}}=-\cfrac{1}{\sqrt{n(n+1)}},级数发散) \end{cases}\\ 4.&设\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛,则\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nu_n不定(反例:\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cfrac1{n}收敛,但 \sum_{n=1}^{\infty}\cfrac1{n}发散)\\ 5.&设\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛,则\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cfrac{u_n}{n}不定(反例:\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\cfrac1{\ln n}收敛,但 \sum_{n=2}^{\infty}\cfrac1{n \ln n}发散)\\ 6.&设\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛,则 \begin{cases} u_n\geqslant0时,\sum_{n=1}^{\infty}u_{2n},\sum_{n=1}^{\infty}u_{2n-1}均收敛\\ u_n任意时,\sum_{n=1}^{\infty}u_{2n},\sum_{n=1}^{\infty}u_{2n-1}不定(反例:1-\cfrac12+\cfrac13-\cfrac14+\cfrac15-\cfrac16+\cdots\\ =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\cfrac1n收敛，但是其奇数项和与偶数项和都发散) \end{cases}\\ 7.&设\sum_{n=1}^\infty u_n收敛,则\sum_{n=1}^\infty(u_{2n-1}+u_{2n})收敛.\\ &(收敛级数任意加括号所得的新级数仍收敛,且和不变,但反过来推要增加\lim_{n\rightarrow \infty}=0的条件,即\sum_{n=1}^\infty(u_{2n-1}+u_{2n})收敛且\lim_{n\rightarrow \infty}=0,则\sum_{n=1}^\infty u_n收敛,\\ &因S_{2n}=(u_1+u_2)+(u_3+u_4)+\cdots+(u_{2n-1}+u_{2n}),\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2n}=S存在,\\ &S_{2n+1}=S_{2n}+u_{2n+1},\lim_{n\rightarrow\infty}S_{2n+1}=S+\lim_{n\rightarrow \infty}u_{2n+1}=S,即可得\sum_{n=1}^{\infty} u_n收敛）\\ 8.&设\sum_{n=1}^\infty u_n收敛,则\sum_{n=1}^\infty(u_{2n-1}-u_{2n})不定\\ &(反例：(u_1+u_2)+(u_3+u_4)+(u_5+u_6)+\cdots=1-\cfrac12+\cfrac13-\cfrac14+\cfrac15-\cfrac16+\cdots收敛，\\ &但1+\cfrac12+\cfrac13+\cfrac14+\cfrac15+\cfrac16+\cdots发散)\\ 9.&设\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛,则 \begin{cases} \sum_{n=1}^{\infty}(u_n+u_{n+1})收敛,\sum_{n=1}^{\infty}u_n+\sum_{n=1}^{\infty}u_{n+1}收敛\\ \sum_{n=1}^{\infty}(u_n-u_{n+1})收敛,\sum_{n=1}^{\infty}u_n-\sum_{n=1}^{\infty}u_{n+1}收敛 \end{cases}\\ 10.&若\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|收敛,则\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛;若\sum_{n=1}^{\infty}u_n发散,则\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|发散\\ 11.&若\sum_{n=1}^{\infty}u_n^2收敛,则\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{u_n}n绝对收敛(|\cfrac{u_n}{n}|\leqslant\cfrac12(u_n^2+\cfrac1{n^2}))\\ 12.&设a,b,c为非零常数,且au_n+bv_n+cw_n=0,则在\sum_{n=1}^{\infty}u_n,\sum_{n=1}^{\infty}v_n,\sum_{n=1}^{\infty}w_n中只要有两个级数是收敛的,另一个必收敛\\ 13.&若\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛,\sum_{n=1}^{\infty}v_n收敛,则\sum_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)收敛\\ 14.&若\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛,\sum_{n=1}^{\infty}v_n发散,则\sum_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)发散\\ 15.&若\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛,\sum_{n=1}^{\infty}v_n发散,则 \begin{cases} u_n\geqslant0,v_n\geqslant0时,\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)发散\\ u_n,v_n任意时,\sum_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)不定\\ \end{cases}\\ 16.&若\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛,\sum_{n=1}^{\infty}v_n收敛,则 \begin{cases} u_n\geqslant0,v_n\geqslant0时,\sum_{n=1}^{\infty}u_nv_n收敛(u_n \cdot v_n\leqslant \cfrac{u_n^2+v_n^2}{2})\\ u_n任意,v_n\geqslant0时,\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\cdot v_n收敛(\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{|u_n|\cdot v_n}{v_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}|u_n|=0)\\ u_n任意,v_n任意时,\sum_{n=1}^{\infty}u_nv_n不定\\ \end{cases} \end{aligned} 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.若n=1∑∞un收敛,则n=1∑∞∣un∣不定(反例:n=1∑∞(−1)nn1收敛,但n=1∑∞n1发散)设n=1∑∞un收敛,则⎩⎨⎧un⩾0时,∑n=1∞un2收敛(limn→∞un=0,从某项起,un<1,un2<un)un任意时,∑n=1∞un2不定(反例:∑n=1∞(−1)nn1收敛,但∑n=1∞n1发散)设n=1∑∞un收敛,则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧un⩾0时,∑n=1∞unun+1收敛(un⋅un+1⩽2un2+un+12)un任意时,∑n=1∞unun+1不定(反例:un=(−1)nn1,unun+1=(−1)nn1(−1)n+1n+11=−n(n+1)1,级数发散)设n=1∑∞un收敛,则n=1∑∞(−1)nun不定(反例:n=1∑∞(−1)nn1收敛,但n=1∑∞n1发散)设n=1∑∞un收敛,则n=1∑∞(−1)nnun不定(反例:n=2∑∞(−1)nlnn1收敛,但n=2∑∞nlnn1发散)设n=1∑∞un收敛,则⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧un⩾0时,∑n=1∞u2n,∑n=1∞u2n−1均收敛un任意时,∑n=1∞u2n,∑n=1∞u2n−1不定(反例:1−21+31−41+51−61+⋯=∑n=1∞(−1)n−1n1收敛，但是其奇数项和与偶数项和都发散)设n=1∑∞un收敛,则n=1∑∞(u2n−1+u2n)收敛.(收敛级数任意加括号所得的新级数仍收敛,且和不变,但反过来推要增加n→∞lim=0的条件,即n=1∑∞(u2n−1+u2n)收敛且n→∞lim=0,则n=1∑∞un收敛,因S2n=(u1+u2)+(u3+u4)+⋯+(u2n−1+u2n),n→∞limS2n=S存在,S2n+1=S2n+u2n+1,n→∞limS2n+1=S+n→∞limu2n+1=S,即可得n=1∑∞un收敛）设n=1∑∞un收敛,则n=1∑∞(u2n−1−u2n)不定(反例：(u1+u2)+(u3+u4)+(u5+u6)+⋯=1−21+31−41+51−61+⋯收敛，但1+21+31+41+51+61+⋯发散)设n=1∑∞un收敛,则{∑n=1∞(un+un+1)收敛,∑n=1∞un+∑n=1∞un+1收敛∑n=1∞(un−un+1)收敛,∑n=1∞un−∑n=1∞un+1收敛若n=1∑∞∣un∣收敛,则n=1∑∞un收敛;若n=1∑∞un发散,则n=1∑∞∣un∣发散若n=1∑∞un2收敛,则n=1∑∞nun绝对收敛(∣nun∣⩽21(un2+n21))设a,b,c为非零常数,且aun+bvn+cwn=0,则在n=1∑∞un,n=1∑∞vn,n=1∑∞wn中只要有两个级数是收敛的,另一个必收敛若n=1∑∞un收敛,n=1∑∞vn收敛,则n=1∑∞(un±vn)收敛若n=1∑∞un收敛,n=1∑∞vn发散,则n=1∑∞(un±vn)发散若n=1∑∞un收敛,n=1∑∞vn发散,则{un⩾0,vn⩾0时,∑n=1∞(un+vn)发散un,vn任意时,∑n=1∞(un±vn)不定若n=1∑∞un收敛,n=1∑∞vn收敛,则⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧un⩾0,vn⩾0时,∑n=1∞unvn收敛(un⋅vn⩽2un2+vn2)un任意,vn⩾0时,∑n=1∞∣un∣⋅vn收敛(limn→∞vn∣un∣⋅vn=limn→∞∣un∣=0)un任意,vn任意时,∑n=1∞unvn不定

傅里叶级数

f(x)∼S(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nπlx+bnsin⁡nπlx)an=1l∫−llf(x)cos⁡nπlxdxbn=1l∫−llf(x)sin⁡nπlxdx\begin{aligned} f(x)\sim S(x)=&\cfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos \cfrac{n\pi}{l}x+b_n \sin \cfrac{n\pi}{l}x) \\ &a_n=\cfrac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\cfrac{n\pi}{l}xdx \\ &b_n=\cfrac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\cfrac{n\pi}{l}xdx \\ \end{aligned} f(x)∼S(x)=2a0+n=1∑∞(ancoslnπx+bnsinlnπx)an=l1∫−llf(x)coslnπxdxbn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx

S(x)={f(x)x为连续点f(x−)+f(x+)2x为间断点f(−l+)+f(l−)2x=±l(狄利克雷收敛定理)S(x)= \begin{cases} f(x) & x为连续点\\ \cfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2}& x为间断点 \\ \cfrac{f(-l ^+)+f(l ^-)}{2}& x=\pm l \end{cases} \tag{狄利克雷收敛定理} S(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧f(x)2f(x−)+f(x+)2f(−l+)+f(l−)x为连续点x为间断点x=±l(狄利克雷收敛定理)

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考研高等数学公式总结（三）

无穷级数收敛性判断

定义

正项级数

交错级数∑n=1∞(−1)n−1un,un>0\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n,u_n>0∑n=1∞(−1)n−1un,un>0

任意项级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞un

常用级数收敛性

常用结论

傅里叶级数

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交错级数∑n=1∞(−1)n−1un,un>0\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n,u_n>0∑n=1∞​(−1)n−1un​,un​>0

任意项级数∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty}u_n∑n=1∞​un​

常用级数收敛性

常用结论

傅里叶级数

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