考研高等数学公式总结（二）
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不定积分公式
∫xkdx=1k+1xk+1+C,k≠−1\int x^kdx = \cfrac {1}{k+1}x^{k+1}+C,k \neq -1∫xkdx=k+11xk+1+C,k=−1
∫1x2dx=−1x+C\int \cfrac1{x^2}dx=-\cfrac1x+C∫x21dx=−x1+C
∫1xdx=2x+C\int \cfrac1{\sqrt x}dx=2\sqrt x+C∫x1dx=2x+C
∫1xdx=ln∣x∣+C\int \cfrac{1}{x}dx = \ln \mid x\mid +C∫x1dx=ln∣x∣+C
∫exdx=ex+C\int e^xdx = e^x+C∫exdx=ex+C
∫axdx=axlna+C,a>0&a≠1\int a^xdx = \cfrac{a^x}{\ln a}+C,a>0\&a\neq1∫axdx=lnaax+C,a>0&a=1
∫sinxdx=−cosx+C\int \sin \ x dx = -\cos \ x + C∫sin xdx=−cos x+C
∫cosxdx=sinx+C\int \cos \ x dx = \sin \ x + C∫cos xdx=sin x+C
∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C\int \tan \ x dx = -\ln\mid \cos \ x\mid + C∫tan xdx=−ln∣cos x∣+C
∫cotxdx=ln∣sinx∣+C\int \cot \ x dx = \ln \mid \sin \ x\mid + C∫cot xdx=ln∣sin x∣+C
∫1cosxdx=∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C\int \cfrac{1}{\cos \ x} dx = \int \sec \ x dx = ln \mid \sec \ x + \tan \ x\mid + C∫cos x1dx=∫sec xdx=ln∣sec x+tan x∣+C
∫1sinxdx=∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C\int \cfrac{1}{\sin \ x} dx = \int \csc \ x dx = ln \mid \csc \ x - \cot \ x\mid + C∫sin x1dx=∫csc xdx=ln∣csc x−cot x∣+C
∫sec2xdx=tanx+C\int \sec^2 \ x dx = \tan \ x + C∫sec2 xdx=tan x+C
∫csc2xdx=−cotx+C\int \csc^2 \ x dx = -\cot \ x + C∫csc2 xdx=−cot x+C
∫secxtanxdx=secx+C\int \sec \ x \tan \ x dx = \sec \ x + C∫sec xtan xdx=sec x+C
∫cscxcotxdx=−cscx+C\int \csc \ x \cot \ x dx = -\csc \ x + C∫csc xcot xdx=−csc x+C
∫11+x2dx=arctanx+C\int \cfrac {1}{1+x^2} dx = arc\tan \ x + C∫1+x21dx=arctan x+C
∫1a2+x2dx=1aarctanxa+C\int \cfrac {1}{a^2+x^2} dx = \cfrac{1}{a}arc\tan \cfrac{x}{a} + C∫a2+x21dx=a1arctanax+C
∫11−x2dx=arcsinx+C\int \cfrac {1}{\sqrt{1-x^2}} dx = arc\sin \ x + C∫1−x21dx=arcsin x+C
∫1a2−x2dx=arcsinxa+C\int \cfrac {1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = arc\sin \cfrac{x}{a} + C∫a2−x21dx=arcsinax+C
∫1x2+a2dx=ln(x+x2+a2)+C(常见a=1)\int \cfrac {1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \ln (x+\sqrt{x^2+a^2}) + C(常见a=1)∫x2+a21dx=ln(x+x2+a2)+C(常见a=1)
∫1x2−a2dx=ln∣x+x2−a2∣+C\int \cfrac {1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \ln \mid x+\sqrt{x^2-a^2}\mid + C∫x2−a21dx=ln∣x+x2−a2∣+C
∫1x2−a2dx=12aln∣x−ax+a∣+C\int \cfrac {1}{x^2-a^2} dx = \cfrac{1}{2a} \ln \mid \cfrac{x-a}{x+a}\mid + C∫x2−a21dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C
∫1a2−x2dx=12aln∣x+ax−a∣+C\int \cfrac {1}{a^2-x^2} dx = \cfrac{1}{2a} \ln \mid \cfrac{x+a}{x-a}\mid + C∫a2−x21dx=2a1ln∣x−ax+a∣+C
∫a2−x2dx=a22arcsinxa+x2a2−x2+C\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \cfrac{a^2}{2}arc\sin \cfrac{x}{a}+\cfrac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + C∫a2−x2dx=2a2arcsinax+2xa2−x2+C
∫sin2xdx=x2−sin2x4+C\int \sin^2 \ x dx = \cfrac x2 - \cfrac{\sin \ 2x}{4} + C∫sin2 xdx=2x−4sin 2x+C
∫cos2xdx=x2+sin2x4+C\int \cos^2 \ x dx = \cfrac x2 + \cfrac{\sin \ 2x}{4} + C∫cos2 xdx=2x+4sin 2x+C
∫tan2xdx=tanx−x+C\int \tan^2 \ x dx = \tan \ x - x + C∫tan2 xdx=tan x−x+C
∫cot2xdx=−cotx−x+C\int \cot^2 \ x dx = -\cot \ x - x + C∫cot2 xdx=−cot x−x+C
定积分公式
区间再现公式
∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx∫abf(x)dx=12∫ab[f(x)+f(a+b−x)]dx∫abf(x)dx=∫aa+b2[f(x)+f(a+b−x)]dx\begin{aligned} & \int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx\\ &\int_a^bf(x)dx=\cfrac12\int_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx\\ &\int_a^bf(x)dx=\int_a^{\cfrac{a+b}{2}}[f(x)+f(a+b-x)]dx \end{aligned} ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx∫abf(x)dx=21∫ab[f(x)+f(a+b−x)]dx∫abf(x)dx=∫a2a+b[f(x)+f(a+b−x)]dx
点火公式
∫0π2sinnxdx=∫0π2cosnxdx={n−1n⋅n−3n−2⋅...⋅23⋅1n奇数n−1n⋅n−3n−2⋅...⋅12⋅π2n偶数∫0πsinnxdx=2∫0π2sinnxdx∫0πcosnxdx={0n奇数2∫0π2cosnxdxn偶数∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx={0奇数4∫0π2cosnxdx偶数\begin{aligned} &\int_0^{\cfrac\pi2}\sin^nxdx=\int_0^{\cfrac\pi2}\cos^nxdx =\begin{cases} \cfrac{n-1}{n} \cdot \cfrac{n-3}{n-2} \cdot \ ... \ \cdot\cfrac23 \cdot 1 & n奇数\\ \cfrac{n-1}{n} \cdot \cfrac{n-3}{n-2} \cdot \ ... \ \cdot\cfrac12 \cdot \cfrac\pi2 & n偶数\\ \end{cases}\\ &\int_0^{\pi}\sin^nxdx=2\int_0^{\cfrac\pi2}\sin^nxdx\\ &\int_0^{\pi}\cos^nxdx =\begin{cases} 0 & n奇数\\ 2\int_0^{\cfrac\pi2}\cos^nxdx & n偶数\\ \end{cases}\\ &\int_0^{2\pi}\sin^nxdx=\int_0^{2\pi}\cos^nxdx =\begin{cases} 0 & 奇数\\ 4\int_0^{\cfrac\pi2}\cos^nxdx & 偶数\\ \end{cases}\\ \end{aligned} ∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧nn−1⋅n−2n−3⋅ ... ⋅32⋅1nn−1⋅n−2n−3⋅ ... ⋅21⋅2πn奇数n偶数∫0πsinnxdx=2∫02πsinnxdx∫0πcosnxdx=⎩⎪⎨⎪⎧02∫02πcosnxdxn奇数n偶数∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx=⎩⎪⎨⎪⎧04∫02πcosnxdx奇数偶数
常用三角函数的积分等式
∫0πxf(sinx)dx=π2∫0πf(sinx)dx∫0πxf(sinx)dx=π∫0π2f(sinx)dx∫0π2f(sinx)dx=∫0π2f(cosx)dx∫0π2f(sinx,cosx)dx=∫0π2f(cosx,sinx)dx\begin{aligned} & \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\cfrac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)dx\\ & \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\pi\int_0^{\cfrac\pi2} f(\sin x)dx\\ & \int_0^{\cfrac\pi2} f(\sin x)dx=\int_0^{\cfrac\pi2} f(\cos x)dx\\ & \int_0^{\cfrac\pi2} f(\sin x,\cos x)dx=\int_0^{\cfrac\pi2} f(\cos x,\sin x)dx\\ \end{aligned} ∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx∫0πxf(sinx)dx=π∫02πf(sinx)dx∫02πf(sinx)dx=∫02πf(cosx)dx∫02πf(sinx,cosx)dx=∫02πf(cosx,sinx)dx
区间简化公式
∫−aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(−x)]dx(a>0)\int_{-a}^af(x)dx=\int_0^a[f(x)+f(-x)]dx(a>0) ∫−aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(−x)]dx(a>0)
- 对于∫ab(x−a)(b−x)dx=(b−a)28π\int_a^b\sqrt{(x-a)(b-x)}dx=\cfrac{(b-a)^2}{8}\pi∫ab(x−a)(b−x)dx=8(b−a)2π,∫abdx(x−a)(b−x)=π\int_a^b\cfrac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}=\pi∫ab(x−a)(b−x)dx=π
x−a+b2=b−a2sint⇒∫abf(x)dx=∫−π2π2f(a+b2+b−a2sint)b−a2costdtt=x−ab−a⇒∫abf(x)dx=∫01(b−a)f[a+(b−a)t]dt\begin{aligned} &x-\cfrac{a+b}2=\cfrac{b-a}2\sin t \Rightarrow\int_a^bf(x)dx=\int_{-\cfrac{\pi}2}^{\cfrac{\pi}2}f(\cfrac{a+b}2+\cfrac{b-a}2\sin t)\cfrac{b-a}2\cos t \ dt\\ &t=\cfrac{x-a}{b-a} \Rightarrow \int_a^bf(x)dx = \int_0^1(b-a)f[a+(b-a)t]dt \end{aligned} x−2a+b=2b−asint⇒∫abf(x)dx=∫−2π2πf(2a+b+2b−asint)2b−acost dtt=b−ax−a⇒∫abf(x)dx=∫01(b−a)f[a+(b−a)t]dt
一元函数微分积分学应用
| 应用场景 | 公式 |
|---|---|
| 曲率公式 | k=∣y′′∣[1+(y′)2]32k=\cfrac{\mid y''\mid }{[1+(y')^2]^{\cfrac{3}{2}}}k=[1+(y′)2]23∣y′′∣ |
| 曲率半径 | R=1kR=\cfrac{1}{k}R=k1 |
| 曲率中心 | m=x−y′(1+y′2)y′′,n=y+y′2+1y′′m=x-\cfrac{y'(1+y'^2)}{y''},n=y+\cfrac{y'^2+1}{y''}m=x−y′′y′(1+y′2),n=y+y′′y′2+1 |
| 曲线y=y1(x)y=y_1(x)y=y1(x)与y=y2(x)y=y_2(x)y=y2(x)及x=a,x=bx=a,x=bx=a,x=b所围成的平面图形的面积 | S=∫ab∣y1(x)−y2(x)∣dxS=\int_{a}^{b}\mid y_1(x)-y_2(x)\mid dxS=∫ab∣y1(x)−y2(x)∣dx |
| 曲线r=r1(θ)r=r_1(\theta)r=r1(θ)与r=r2(θ)r=r_2(\theta)r=r2(θ)与两射线θ=α,θ=β\theta=\alpha,\theta=\betaθ=α,θ=β所围成的曲边扇形的面积 | S=12∫αβ∣r12(θ)−r22(θ)∣dθS=\cfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\mid r_1^2(\theta)-r_2^2(\theta)\mid d\thetaS=21∫αβ∣r12(θ)−r22(θ)∣dθ |
| 曲线y=y(x)y=y(x)y=y(x)与x=a,x=bx=a,x=bx=a,x=b及xxx轴所围成的曲边梯形绕xxx轴旋转一周所得到的旋转体体积 | V=∫abπy2(x)dxV=\int_a^b\pi y^2(x)dxV=∫abπy2(x)dx |
| 曲线y=y1(x)y=y_1(x)y=y1(x)与y=y2(x)y=y_2(x)y=y2(x)及x=a,x=bx=a,x=bx=a,x=b所围成的平面图形绕xxx轴旋转一周所得到的旋转体体积 | V=π∫ab∣y12(x)−y22(x)∣dxV=\pi \int_a^b \mid y_1^2(x)-y_2^2(x)\mid dxV=π∫ab∣y12(x)−y22(x)∣dx |
| 曲线y=y(x)y=y(x)y=y(x)与x=a,x=bx=a,x=bx=a,x=b及xxx轴所围成的曲边梯形绕yyy轴旋转一周所得到的旋转体体积 | V=2π∫abx∣y(x)∣dxV=2\pi \int_a^b x\mid y(x)\mid dxV=2π∫abx∣y(x)∣dx |
| 曲线y=y1(x)y=y_1(x)y=y1(x)与y=y2(x)y=y_2(x)y=y2(x)及x=a,x=bx=a,x=bx=a,x=b所围成的平面图形绕yyy轴旋转一周所得到的旋转体体积 | V=2π∫abx∣y1(x)−y2(x)∣dxV=2\pi \int_a^b x\mid y_1(x)-y_2(x)\mid dxV=2π∫abx∣y1(x)−y2(x)∣dx |
| 变力沿直线做功：物体沿xxx轴从点aaa移动到点bbb时，变力F(x)F(x)F(x)所做的功 | W=∫abF(x)dxW=\int_a^bF(x)dxW=∫abF(x)dx |
| 抽水做功：将容易中的水全部抽出需要做的功，A(x)A(x)A(x)代表截平面的面积 | W=ρg∫abxA(x)dxW=\rho g \int_a^bxA(x)dxW=ρg∫abxA(x)dx |
| 水压力：垂直浸没在水中的平板ABCDABCDABCD的一侧受到的水压力 | P=ρg∫abx[f(x)−h(x)]dxP=\rho g \int_a^bx[f(x)-h(x)]dxP=ρg∫abx[f(x)−h(x)]dx |
| 形心公式 | x‾=∬Dxdσ∬Ddσ=∫abdx∫0f(x)xdy∫abdx∫0f(x)dy=∫abxf(x)dx∫abf(x)dx\overline{x}=\cfrac{\underset{D}{\iint}xd\sigma}{\underset{D}{\iint}d\sigma}=\cfrac{\int_a^bdx\int_0^{f(x)}xdy}{\int_a^bdx\int_0^{f(x)}dy}=\cfrac{\int_a^bxf(x)dx}{\int_a^bf(x)dx}x=D∬dσD∬xdσ=∫abdx∫0f(x)dy∫abdx∫0f(x)xdy=∫abf(x)dx∫abxf(x)dx |
| 形心公式 | y‾=∬Dydσ∬Ddσ=∫abdx∫0f(x)ydy∫abdx∫0f(x)dy=12∫abf2(x)dx∫abf(x)dx\overline{y}=\cfrac{\underset{D}{\iint}yd\sigma}{\underset{D}{\iint}d\sigma}=\cfrac{\int_a^bdx\int_0^{f(x)}ydy}{\int_a^bdx\int_0^{f(x)}dy}=\cfrac{\cfrac12\int_a^bf^2(x)dx}{\int_a^bf(x)dx}y=D∬dσD∬ydσ=∫abdx∫0f(x)dy∫abdx∫0f(x)ydy=∫abf(x)dx21∫abf2(x)dx |
| 直角坐标系光滑曲线弧长 | s=∫ab1+[y′(x)]2dxs=\int_a^b\sqrt{1+[y'(x)]^2}dxs=∫ab1+[y′(x)]2dx |
| 直角坐标系参数方程光滑曲线弧长 | s=∫αβ[x′(t)]2+[y′(t)]2dts=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dts=∫αβ[x′(t)]2+[y′(t)]2dt |
| 极坐标系光滑曲线弧长 | s=∫αβ[r(θ)]2+[r′(θ)]2dθs=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\thetas=∫αβ[r(θ)]2+[r′(θ)]2dθ |
| 曲线y=y(x)y=y(x)y=y(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上的曲线弧段绕绕xxx轴旋转一周所得到的旋转曲面的表面积 | S=2π∫ab∣y(x)∣1+[y′(x)]2dxS=2\pi \int_a^b \mid y(x)\mid \sqrt{1+[y'(x)]^2}dxS=2π∫ab∣y(x)∣1+[y′(x)]2dx |
| 曲线x=x(t),y=y(t)x=x(t),y=y(t)x=x(t),y=y(t)在区间[α,β][\alpha,\beta][α,β]上的曲线弧段绕绕xxx轴旋转一周所得到的旋转曲面的表面积 | S=2π∫αβ∣y(t)∣[x′(t)]2+[y′(t)]2dtS=2\pi \int_{\alpha}^{\beta}\mid y(t)\mid \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dtS=2π∫αβ∣y(t)∣[x′(t)]2+[y′(t)]2dt |
| 在区间[a,b][a,b][a,b]上，垂直于xxx轴的平面截立体Ω\OmegaΩ所得到的截面面积为A(x)A(x)A(x)的Ω\OmegaΩ的体积 | V=∫abA(x)dxV=\int_a^bA(x)dxV=∫abA(x)dx |
二重积分计算法
| ∬Df(x,y)dσ=\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=D∬f(x,y)dσ= | 类型 |
|---|---|
| ∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy\int_a^bdx\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)dy∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy | XXX型区域：ϕ1(x)⩽y⩽ϕ2(x),a⩽x⩽b\phi_1(x) \leqslant y\leqslant \phi_2(x),a \leqslant x \leqslant bϕ1(x)⩽y⩽ϕ2(x),a⩽x⩽b |
| ∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx\int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx | YYY型区域：ψ1(y)⩽x⩽ψ2(y),c⩽y⩽d\psi_1(y) \leqslant x \leqslant \psi_2(y),c \leqslant y \leqslant dψ1(y)⩽x⩽ψ2(y),c⩽y⩽d |
| ∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr\int_{\alpha}^{\beta} d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr | 极点OOO在区域DDD外部 |
| ∫αβdθ∫0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr\int_{\alpha}^{\beta} d\theta \int_{0}^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr∫αβdθ∫0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr | 极点OOO在区域DDD边界上 |
| ∫02πdθ∫0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr∫02πdθ∫0r(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdr | 极点OOO在区域DDD内部 |
| ∬Dxyf(x,y)dxdy\iint\limits_{Dxy} f(x,y)dxdyDxy∬f(x,y)dxdy | ∬Duvf[x(u,v),y(u,v)]∣∂(x,y)∂(u,v)∣dudv\iint\limits_{Duv}f[x(u,v),y(u,v)]\ \mid \cfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\mid \ dudvDuv∬f[x(u,v),y(u,v)] ∣∂(u,v)∂(x,y)∣ dudv |
常微分方程的求解
一阶微分方程的求解
| 名称 | 情形 | 解法 |
|---|---|---|
| 变量可分离型 | y′=f(x)g(y)y'=f(x)g(y)y′=f(x)g(y) | ∫dyg(y)=∫f(x)dx\int \cfrac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx∫g(y)dy=∫f(x)dx |
| 可化为变量可分离型 | y′=f(ax+by+c)y'=f(ax+by+c)y′=f(ax+by+c) | u=ax+by+cu=ax+by+cu=ax+by+c |
| 齐次型 | y′=ϕ(yx)y'=\phi (\cfrac{y}{x})y′=ϕ(xy) | u=yxu=\cfrac{y}{x}u=xy |
| 齐次型 | 1y′=ϕ(xy)\cfrac 1y'=\phi (\cfrac{x}{y})y1′=ϕ(yx) | u=xyu=\cfrac{x}{y}u=yx |
| 一阶线性型 | y′+p(x)y=q(x)y'+p(x)y=q(x)y′+p(x)y=q(x) | y=e−∫p(x)dx[∫e∫p(x)dx∗q(x)dx+C]y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}*q(x)dx+C]y=e−∫p(x)dx[∫e∫p(x)dx∗q(x)dx+C] |
| 伯努利方程 | y′+p(x)y=q(x)yny'+p(x)y=q(x)y^ny′+p(x)y=q(x)yn | y−n∗y′+p(x)y1−n=q(x),z=y1−ny^{-n}*y'+p(x)y^{1-n}=q(x),z=y^{1-n}y−n∗y′+p(x)y1−n=q(x),z=y1−n |
二阶可降阶微分方程的求解
| 类型 | 步骤 |
|---|---|
y′′=f(x,y′)y''=f(x,y')y′′=f(x,y′)缺y型
|
令y′=p(x)，y′′=p′,原方程变成dpdx=f(x,p)令y'=p(x)，y''=p',原方程变成\cfrac{dp}{dx}=f(x,p)令y′=p(x)，y′′=p′,原方程变成dxdp=f(x,p) |
y′′=f(y,y′)y''=f(y,y')y′′=f(y,y′)缺x型
|
令y′=p，y′′=dpdx=dpdy∗dydx=dpdy∗p,原方程变成pdpdy=f(y,p)令y'=p，y''=\cfrac{dp}{dx}=\cfrac{dp}{dy}*\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{dp}{dy}*p,原方程变成p\cfrac{dp}{dy}=f(y,p)令y′=p，y′′=dxdp=dydp∗dxdy=dydp∗p,原方程变成pdydp=f(y,p) |
高阶常系数线性微分方程的求解
二阶常系数齐次线性微分方程的通解
对于 y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0y′′+py′+qy=0,对应的特征方程为λ2+qλ+q=0\lambda^2+q\lambda+q=0λ2+qλ+q=0,求其特征根
| 情况 | 通解 |
|---|---|
| p2−4q>0p^2-4q>0p2−4q>0 | y=C1eλ1x+C2eλ2xy=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}y=C1eλ1x+C2eλ2x |
| p2−4q=0p^2-4q=0p2−4q=0 | y=(C1+C2)eλxy=(C_1+C_2)e^{\lambda x}y=(C1+C2)eλx |
| p2−4q<0p^2-4q<0p2−4q<0 | y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)y=eαx(C1cosβx+C2sinβx) |
二阶常系数齐次线性微分方程的特解
对于 y′′+py′+qy=f(x)y''+py'+qy=f(x)y′′+py′+qy=f(x)
| 情况 | 特解 |
|---|---|
| f(x)=Pn(x)eαxf(x)=P_n(x)e^{\alpha x}f(x)=Pn(x)eαx | y∗=eαxQn(x)xky^*=e^{\alpha x}Q_n(x)x^ky∗=eαxQn(x)xk,k=（0−α不是特征根,1−α是单特征根,2−α是二重特征根）k=（0-\alpha不是特征根,1-\alpha是单特征根,2-\alpha是二重特征根）k=（0−α不是特征根,1−α是单特征根,2−α是二重特征根） |
| f(x)=eαx[Pm(x)cosβx+Pn(x)sinβx]f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]f(x)=eαx[Pm(x)cosβx+Pn(x)sinβx] | y∗=eαx[Ql(1)(x)cosβx+Ql(2)(x)sinβx]xk,l=max{m,n}y^*=e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}(x)\cos \beta x+Q_{l}^{(2)}(x)\sin \beta x]x^k,l=max\{m,n\}y∗=eαx[Ql(1)(x)cosβx+Ql(2)(x)sinβx]xk,l=max{m,n},k=(0−α±βi不是特征根，1−α±βi是特征根)k=(0-\alpha \pm\beta i不是特征根，1-\alpha \pm \beta i是特征根)k=(0−α±βi不是特征根，1−α±βi是特征根) |
n阶常系数齐次线性微分方程的解
y(n)+p1y(n−1)+...+pn−1y′+pny=0y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+...+p_{n-1}y'+p_ny=0y(n)+p1y(n−1)+...+pn−1y′+pny=0,对应的特征方程λn+p1λn−1+...+pn−1λ+pn=0\lambda^n+p_1\lambda^{n-1}+...+p_{n-1}\lambda+p_n=0λn+p1λn−1+...+pn−1λ+pn=0
| 情况 | 结果 |
|---|---|
| 特征根为单实根λ\lambdaλ | 在通解中对应一项CeλxCe^{\lambda x}Ceλx |
| 特征根为kkk重实根λ\lambdaλ | 在通解中对应kkk项(C1+C2x+...+Ckxk−1)eλx(C_1+C_2x+...+C_kx^{k-1})e^{\lambda x}(C1+C2x+...+Ckxk−1)eλx |
| 特征根为单复根α±βi\alpha\pm \beta iα±βi | 在通解中对应两项eαx(C1cosβx+C2sinβx)e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)eαx(C1cosβx+C2sinβx) |
| 特征根为kkk重复根α±βi\alpha\pm \beta iα±βi | 在通解中对应两项eαx[(C1+C2x+...+Ckxk−1)cosβx+(D1+D2x+...+Dkxk−1)sinβx]e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+...+C_kx^{k-1})\cos\beta x+(D_1+D_2x+...+D_kx^{k-1})\sin\beta x]eαx[(C1+C2x+...+Ckxk−1)cosβx+(D1+D2x+...+Dkxk−1)sinβx] |
欧拉方程
x2d2ydx2+pxdydx+qy=f(x)x2y′′+pxy′+qy=f(x)解法：当x>0,令x=et；当x<0,令x=−et然后将y′,y′′由之前的对x求导改为对t求导，最后记得回代x>0的换元结果是d2ydt2+(p−1)dydt+qy=f(et)\begin{aligned} & x^2\cfrac{d^2y}{dx^2}+px\cfrac{dy}{dx}+qy=f(x) \\ & x^2y''+pxy'+qy=f(x)\\ & 解法：当x>0,令x=e^t；当x<0,令x=-e^t \\ & 然后将y',y''由之前的对x求导改为对t求导，最后记得回代\\ & x>0的换元结果是\cfrac{d^2y}{dt^2}+(p-1)\cfrac{dy}{dt}+qy=f(e^t) \end{aligned} x2dx2d2y+pxdxdy+qy=f(x)x2y′′+pxy′+qy=f(x)解法：当x>0,令x=et；当x<0,令x=−et然后将y′,y′′由之前的对x求导改为对t求导，最后记得回代x>0的换元结果是dt2d2y+(p−1)dtdy+qy=f(et)
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