Acwing 344.观光之旅

题意

给定一张无向图，求图中一个至少包含 3 个点的环，环上的节点不重复，并且环上的边的长度之和最小。

该问题称为无向图的最小环问题。

你需要输出最小环的方案，若最小环不唯一，输出任意一个均可。

1≤N≤100,1≤N≤100,1≤N≤100,
1≤M≤10000,1≤M≤10000,1≤M≤10000,
1≤l<5001≤l<5001≤l<500

思路

将所有环按照环上最大的点的编号 分成n类，1,2,3…,n-1,n

对于FloydFloydFloyd 的三重循环

for(k=1->n)for(i=1->n)for(j=1->n)

可以知道当最外层循环到第 k 轮时，代表第 k 类环，即环上的点的编号最大为 k，因为此时所有最短路只被 1∼k−11 \sim k - 11∼k−1松弛过

这样一类环可以表示成下述形式：

所以第k类的环的距离可以表示成 d[i][j] + g[i][k] + g[k][i] ，其中d为最短路径数组，g为原图

对每一类环枚举小于 k 的每两个点对（因为环上最大的点为 k），取min即可得到答案。

本题需要求具体方案，

在 floydfloydfloyd 算法中，存在一个三角不等式 d[i][j] >= d[i][k] + d[k][j]

当某一 k 满足 d[i][j] = d[i][k] + d[k][j] 时，说明 k可以使得从 i 到 j 的距离最小，那么从 i 到 j 的最短路径一定包含 k，我们用 pos[i][j] = k 表示，i - j 的路径是从 k 更新过去的。

所以对于从 i - j 的最短路径，可以通过递归的方法求出经过的所有点。

最短路径上的点加上之前叙述的环上的 k ，即为环上的所有点。

代码

// Author：zzqwtcc
// Problem: 观光之旅
// Contest: AcWing
// Time：2021-10-18 22:04:48
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/346/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms#include<bits/stdc++.h>
#include<unordered_map>
// #define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define mod 1000000007
#define MOD 998244353
#define rep(i, st, ed) for (int (i) = (st); (i) <= (ed);++(i))
#define pre(i, ed, st) for (int (i) = (ed); (i) >= (st);--(i))
#define debug(x,y) cerr << (x) << " == " << (y) << endl;
#define endl '\n'
using namespace std;typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
template<typename T> inline T gcd(T a, T b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
template<typename T> inline T lowbit(T x) { return x & -x; }
// template<typename T> T qmi(T a, T b = mod - 2, T p = mod) { T res = 1; b %= (p - 1 == 0 ? p : p - 1); while (b) { if (b & 1) { res = (LL)res * a % p; }b >>= 1; a = (LL)a * a % p; }return res % mod; }const int N = 110;
int n, m;
int g[N][N],d[N][N];
int path[N],cnt;
int pos[N][N];void get_path(int i,int j){if(pos[i][j] == 0)return ;int k = pos[i][j];get_path(i,k);path[cnt++] = k;get_path(k,j);
}void solve() {cin >> n >> m;memset(g,0x3f,sizeof g);rep(i,1,n)g[i][i] = 0;while(m--){int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],c);}memcpy(d,g,sizeof d);int res = INF;for(int k = 1; k <= n;++k){for(int i = 1; i < k;++i){for(int j = i + 1; j < k;++j){if((LL)d[i][j] + g[j][k] + g[k][i] < res) {res = d[i][j] + g[i][k] + g[k][j];cnt = 0;path[cnt++] = k;path[cnt++] = i;get_path(i,j);path[cnt++] = j;}}}for(int i = 1; i <= n;++i){for(int j = 1; j <= n;++j){if(d[i][j] > d[i][k] + d[k][j]){d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];pos[i][j] = k;}}}}if(res == INF)puts("No solution.");else {for(int i =0 ; i < cnt;++i){printf("%d ",path[i]);}cout << endl;}
}signed main() {//int _; cin >> _;//while (_--)solve();return 0;
}

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