前言：之前的例子里面，我们谈到线性变换的基础，就是基向量的线性组合。而基向量的加减乘除理解为缩放和挤压。那么如何衡量这个缩放挤压的程度呢？就是衡量两个基向量所围成的面积，而行列式正好就是这个面积的值。

1 向量的拉伸压缩做了什么？

上面这个向量，从前几节知识我们知道

对于X方向来说，从1拉伸到了3，

对于Y方向来说，从1拉伸到了2，

从单位的基本向量变成上图向量，变化的是向量的程度，看起来是可以用两个维度围起来的面积大小来衡量。

而，如果我们知道了基向量的面积变化情况，那么对于整个空间的变化情况也就掌握了。

也就是我们可以通过对向量围起来的区域面积的大小的判断来判断向量缩放挤压的程度。

2 行列式：

行列式就是一个反映这个问题的数。

2.1 行列式是正数

2.2 行列式是0

这时候，出现了降维打击。

2.2 行列式是负数

可以看出是向量空间翻转了

或者，理解为基础向量例如，i,j调换了左右位置。

但是，负数的绝对值还是反映了拉伸的程度。、

讨论基础向量的某一位变化的时候，比如i基向量变化，我们可以画出行列式值和变化的趋势关系，可以看到，i基向量越接近j基向量，缩放的面积越小，直到为0.

然后，再移动的话，会变为负值。

3 3阶行列式

反映体积的变化。

当基向量线性相关的时候，向量的方向比如有重叠的情况，这样表述的体积就会被压缩为一个面，一条线，甚至一个点。

那么，三维的行列式如果计算是付的表述什么呢？

如果Det < 0 ，其实是将右手规则变成左手规则，这个意思。

4 右手规则

食指：指向基向量 i

中指：指向基向量j

大拇指：指想基向量k

行列式为负，就是变成了左手定则。

计算方法：

【ad】的意义如上图，

对于【bc】的意义如下图：

术语词汇：

1 determinant （行列式）

2 orientaton - flipping (定向改变）

Why does negative area related to orientation flipping

负的面积为什么与定向改变相关

3 right hand rule(右手规则)

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