线性代数线性相关与线性表示的理解

https://www.zhihu.com/question/39326459/answer/452801233

首先，向量是仅有一行或者一列的特殊矩阵，我们将其每一个元素视为一个维度，n维向量就存在于n维空间内。

我们可以把各个维度视为描述某个向量的各个方面，那么某些向量之间就有可能有一些替代关系。这个向量，像知乎答主的例子，可以被视为一个人的各个能力方面。

比如某个维度，两个向量在这个维度上的值分别为2和4，那我们就可以说在这个维度上，向量2可以由2个向量1表示。

那么进一步，假如每个维度上，向量2都可以由2个向量1表示，那么向量2就可以由向量1完全替代，这就是线性表示。

a = k_1 * a_1 + k_2 * a_2 + … + k_m * a_m

其中k_i为任意数（不一定是整数），则a由各个a_i线性表示

进一步，所谓线性无关，就是一组独一无二的向量，它们之间不存在任何可以互相完全替代的向量。

0 = k_1 * a_1 + k_2 * a_2 + … + k_m * a_m

其中k_i为任意数（不一定是整数），它们不全为0，则各个a_i线性无关

从几何上理解（当然这里几何由于现实世界的限制，只有三维），线性表示，就是某个向量可以由平行四边形相加法则由其它向量得到。某个向量由一个向量线性表示，两向量共线；某个向量由两个向量线性表示，三向量共面；某个向量由三个个个向量线性表示，四向量共空间。

从这里可以看出，线性无关的一组向量，每个向量都扩张了该向量组（向量空间）的某个维度（所谓不可替代性）。

n+1个n维向量一定是线性相关的

几何理解，n维向量张成了一个<=n维的空间，这个空间显然不存在n+1个不同的维度，也就是n+1个线性无关的向量。

部分组线性相关，整体组线性相关

整体组线性无关，部分组线性无关

从几何角度，理解很直观。从替代关系角度，部分组已经有人可以互相替代了，那这些可以互相替代的人肯定还在整体组里面，整体组也有人可以互相替代，他们不是独一无二的；整体组独一无二，那从里面随便选几个人肯定也是独一无二的。

线性无关组的延长组线性无关

线性相关组的缩短组线性相关

几何上似乎有点难以理解，我们从替代关系的角度理解。线性无关组，每个向量至少有一个维度是独一无二的，延长这个组，仍然有一个维度是独一无二的；线性相关组，至少存在一个向量，它的每一个维度都可以用其它向量一起替代，那么缩短这个组，刚才那个向量的每个维度仍然是可以用其它向量一起替代的