线性代数（1）- 向量空间
线性代数（1）- 向量空间(Vector Space)
复数(Complex Number)
向量空间(Vector Space)首先是一个空间，数学形式上就是一个集合(Set)。很自然的，首先需要定义元素(Element)的概念，实数是一类元素，类似地，复数也是一类元素。
引入复数是为了体现向量空间的概念是普遍的，从它的元素可取的值就能看出，事实上，函数也是一类元素，后面将看到，只要定义了合理的加法和数乘运算，什么样的元素都可以组成一个向量空间。
复数可以视为两个实数的对，a+bi，在运算上直接继承于实数的加法(Addtion)和乘法(Multiplication)，也由此可以导出复数的性质
- 交换律(Commutativity)
- 结合律(Associativity)
- 分配律(Distributive Property)
- 实数0是加法单位(Additive identity)
- 实数1是乘法单位(Multiplicative identity)
- 加法逆(Additive inverse)唯一，加和得到加法单位
- 乘法逆(Multiplicative Inverse)唯一，乘积得到乘法单位
减法、除法被定义为是加相应的加法逆、乘相应的乘法逆
列表(List)
类比于集合概念，列表是有序的、可重复的，有长度的。
a list of length n 也被称为 n-tuple
常用的向量空间 Rn 和 Cn
F = R ∣ C F = \Reals \mid \Complex F=R∣C
F n = { ( x 1 , … , x n ) ∣ x j ∈ F , j = 1 , … , n } F^n = \lbrace(x_1,\ldots ,x_n) \mid x_j \in F, j=1,\ldots , n \rbrace Fn={(x1,…,xn)∣xj∈F,j=1,…,n}
x j x_j xj 被称为坐标(j-th coordinate)
在这两个空间中，定义元素的加法和数乘运算
进而导出加法单位，并用 0 0 0 来表示
Let 0 0 0 denote the list of length n whose coordinates are all 0
0 = { ( 0 , … , 0 ) } 0 = \lbrace (0, \ldots , 0)\rbrace 0={(0,…,0)}
应注意到 0 0 0 的含义得到了扩充，除了表示实数零外，还表示全零的列表，且不同长度的列表有不同的 0 0 0
加法逆通过加法单位导出
应注意到复数时的运算定义和此时的定义不是一回事，前者是复数的运算，后者是是实数空间或者复数空间的元素(Element 此时是 List)的运算
作用在集合上的加法和数乘
An addition on a set V V V is a function that assigns an element u + v ∈ V u+v\in V u+v∈V to each pair of elements u , v ∈ V u,v\in V u,v∈V
A scalar multiplication on a set V V V is a funciton that assigns an element λ v ∈ V \lambda v \in V λv∈V to each λ ∈ F \lambda \in F λ∈F and each v ∈ V v \in V v∈V
应注意到，数乘定义是需要指定一个数域(Field)的，即 F = R ∣ C F = \Reals \mid \Complex F=R∣C。
同时，加法、乘法的定义已经包含了运算封闭的意味
再次，运算封闭并不代表 a ∉ V , b ∉ V , a + b ∉ V a\notin V,b \notin V,a+b \notin V a∈/V,b∈/V,a+b∈/V
向量空间
- 一个向量空间是一个集合，并定义了集合上的加法和数乘运算
- 其中加法运算应满足交换律、结合律
- 存在一个加法单位 0 ∈ V 0 \in V 0∈V，使得 ∀ v ∈ V , v + 0 = v \forall v \in V,v+0=v ∀v∈V,v+0=v
- 每个元素都至少存在一个对应的加法逆 w , v + w = v w, v+w=v w,v+w=v
- 1是数乘单位
- 加法和数乘满足分配律
向量空间的元素又称为点(Point)、向量(Vector)
应注意到 0 0 0的意义再次被扩充，除实数零、实数空间或复数空间的全零List，还有广义概念下向量空间的加法单位（零向量）
由于数乘运算的需要指定一个数域，表达一个向量空间时，要说明是什么数域下的向量空间，通常就是实数域或复数域，因此可以省略说明。
基于定义，导出以下性质
- 加法单位唯一和加法逆唯一(Unique)
- ∀ v ∈ V , 0 v = 0 \forall v \in V, 0v = 0 ∀v∈V,0v=0（左零是数域的实数零，右零是零向量）
- ∀ a ∈ F , a 0 = 0 \forall a \in F, a0=0 ∀a∈F,a0=0 ( F F F是向量空间对应的数域)
- ∀ v ∈ V , ( − 1 ) v = − v \forall v \in V,(-1)v=-v ∀v∈V,(−1)v=−v，其中，记 v v v的加法逆为 − v -v −v
其它推论
- 在向量空间的定义中，加法逆存在，可以被等效替换为性质二
函数集合
F S F^{S} FS 是一个集合，由从集合S映射到集合F的所有函数组成
定义函数集合上的加法和乘法(Product)运算
For f , g ∈ F S f,g \in F^S f,g∈FS, the sum f + g ∈ F S f+g \in F^S f+g∈FS is the function defined by
∀ x ∈ S , ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) \forall x \in S, (f+g)(x) = f(x)+g(x) ∀x∈S,(f+g)(x)=f(x)+g(x)
For f , g ∈ F S f,g \in F^S f,g∈FS, the product λ f ∈ F S \lambda f \in F^S λf∈FS is the function defined by
∀ x ∈ S , ( λ f ) ( x ) = λ f ( x ) \forall x \in S, (\lambda f)(x) = \lambda f(x) ∀x∈S,(λf)(x)=λf(x)
可以推出， F S F^{S} FS是向量空间，因此一些关于向量空间的理论亦可以作用到函数集合中，比如未来要提及的线性映射，直接的实际例子是常微分方程的求解
值得注意的是， F S F^{S} FS向量空间的零向量0，也就是加法单位，是一个函数，这个函数无论自变量取值多少，其应变量都是0
∀ x ∈ S , 0 ( x ) = 0 \forall x \in S, 0(x) = 0 ∀x∈S,0(x)=0
子空间
向量空间 V V V的某个子集 U U U，如果 U U U也是一个向量空间（使用与 V V V相同的集合上的加法运算和数乘运算），则称为子空间(Subspace)
子集 U U U是 V V V的子空间的充要条件如下
- V V V的加法单位 0 ∈ U 0 \in U 0∈U
- 加法、数乘运算在 U U U上封闭(Closed)
一些其他推论
- 子空间的交集还是子空间，并集通常不是子空间
子集的运算（和、直和）
V的子集之间的运算，除常见的求交(Intersection)、求并(Union)、求差(Difference)，还有和(Sum)、直和(Direct Sum)
U 1 + ⋯ + U m = { u 1 + ⋯ + u m ∣ u 1 ∈ U 1 , … , u m ∈ U m } U_1+\dots+U_m = \lbrace u_1+\dots+u_m \mid u_1 \in U_1, \dots,u_m \in U_m \rbrace U1+⋯+Um={u1+⋯+um∣u1∈U1,…,um∈Um}
子空间的和有这些推论
- Suppose U 1 , … , U m U_1,\dots,U_m U1,…,Um are subspaces of V V V. Then U 1 + ⋯ + U m U_1+\dots+U_m U1+⋯+Um is the smallest subspace of V containing U 1 , … , U m U_1,\dots,U_m U1,…,Um.
- 子空间的和满足交换律和结合律
- 子空间的和存在加法单位
- 只有 { 0 } \lbrace 0 \rbrace {0}这个子空间有加法逆
如果子空间的和的运算过程中，每一个向量都只有唯一表达则被称为直和，记为 U 1 ⊕ ⋯ ⊕ U m U_1 \oplus \dots \oplus U_m U1⊕⋯⊕Um
直和有以下推论
子空间的和是直和的充要条件是 零向量有唯一表达
两个子空间 U , W U, W U,W的和是直和的充要条件是 U ⋂ W = { 0 } U \bigcap W = \lbrace0\rbrace U⋂W={0}
三个以上将不适用，即使两两交集都满足
向量空间的几个点（可忽略）
- 周期函数集合不是向量空间（不满足加法封闭）
- U e U_e Ue 表示 R \reals R上的偶函数(Even)
U o U_o Uo 表示 R \reals R上的奇函数(Odd)
R R = U e ⊕ U o {\reals}^{\reals} = U_e \oplus U_o RR=Ue⊕Uo
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