由位运算到操作符，再到逐步理解群论

Step by Step for Understanding from Bitwise to Operators, then Group Theory

是否曾经会有过很努力，还是看不懂别人代码的苦恼？

有时是算法思路堵塞，有时是作者“故意”用了一些奇形怪状的位运算来炫技！

比如交换两个变量，不借助第三者的异或运算^；判断奇偶数用 &运算；置位用左移<>运算等等。

这些代码常见于嵌入式编程(考虑效率)，或编程比丑大赛(Hacker)之中。

为什么一般看不懂呢？

因为通常我们脑中并没有很好理解它的意义，而习惯上加、减、乘、除("+-*/")的意义好像都已印入脑中！

但仔细一想，这些"&,|,^,<>,~,"与“加减乘除”其实都一样，没什么区别的，它们都是操作符(Operator) 啊！

操作符绑定两个数，再安一些规则在其中，就形成了群!

听不懂？，那么倒要真的问一下自己，是否真的懂了加减乘除啦？(据说博士毕业之前最好都要搞懂)

下面将举一些具体的位操作运算例子，以辅助大家对各操作符意义的理解。

然后结合加减乘除上升到操作符的抽象！

最后再到群论的入门介绍

希望大家领略了群论的风景之后，再回来看自己曾经学过的各个计算机语言(C，C++,C#,Java,Python,Javascript...虽然很多我都不熟?)，会有too simple, too young的感慨?～

位操作介绍

位操作主要有与、或、非和异或，下面将介绍各种位操作的基本用法。

与

0 & 1 = 0

1 & 0 = 0

0 & 0 = 0

1 & 1 = 1

或

0 | 1 = 1

1 | 0 = 1

0 | 0 = 0

1 | 1 = 1

非

！0 = 1

！1 = 0

异或

1 ^ 0 = 1

0 ^ 1 = 1

0 ^ 0 = 0

1 ^ 1 = 0

位操作符两边的数a和b只有两个数0和1，加减乘除两边的操作数a和b可以是所有实数(除法b不能为0)，这是它们的最大区别，再无其它！

要把运算映射到人可以理解的意义，第一步要把二进制数映到实数(整数)，再结合效果map到人习惯理解的意义！

1.判断一个数的奇偶性(不用％2操作)

n = 3# if n is even, will be true, else falsedef f(n):    return n & 1 == 0

f(n)

False

f(4)

True

2.判断一个数是否为2的整数幂

def f(n):    return n & (n-1) == 0

f(4)

True

3.不用临时变量交换两个数

def swap(a,b):    a ^= b    b ^= a    a ^= b    return a,b

x,y = 3,4swap(x,y)

(4, 3)

4.找到数组中出现奇数次的元素：

一个非空数组，只有一个元素出现奇数次，其余出现偶数次，找出那个元素:

arr = [1,2,1,2,4,3,3]res = 0for i in arr:    res ^= i

res#  任何一个数字异或它自己都等于0。也就是说，如果我们从头到尾依次异或数组中的每一个数字，#  那么最终的结果刚好是那个只出现奇数次的数字，因为那些出现偶数次的数字全部在异或中抵消掉了。

4

5.求两个整数的平均值(结果有小数点时抛弃小数点)

def f(a,b):    return (a+b)>>1

f(5,6)

5

6.取两个数的最大值(某些机器上，效率比a>b ? a:b高)

def f(a, b):    return b & ((a-b) >> 31) | a & (~(a-b) >> 31)

f(8,22)

22

7.取两个数的最小值(某些机器上，效率比a>b ? b:a高)

def f(a,b):    return a & ((a-b) >> 31) | b & (~(a-b) >> 31)

f(3,4)

3

8.判断两个数符号是否相同(0算正号)

def f(x,y):    return (x ^ y) >= 0

f(3,4)

True

9.计算2的n次方

def f(n):    return 2<-1)

f(3)

8

10.从低位到高位，取某数的第m位

def f(n,m):    return (n >> (m-1))&1

f(8,4)

1

11.从低位到高位，将某数的第m位置1

def f(n,m):    return n | (1 <-1))

f(8,2)

10

12.取相反数 (注意～是单目运算符)

def f(n):    return ~n+1

f(-5)

5

13.判断两个数是否相等

def f(x1,x2):    return (x1 ^ x2) == 0

f(3,4)

False

14.对n加1，＋＋

def f(n):    return -~n

f(3)

4

15.对n减1，－－

def f(n):    return ~-n

f(4)

3

16.取绝对值

def f(n):    return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31)

f(-9)

9

我们总结一下：

• 任何数和 0 进行 OR 都为自身：x | 0 = x。

• 任何数和 -1 进行 OR 都为 -1：x | -1 = -1。

• 任何数和 0 进行 XOR 都为自身：x ^ 0 = x。

• 任何数和 -1 进行 XOR 都为 ~x：x ^ -1 = ~x。

• 任何数和其自身进行　XOR　都为0：x ^ x = 0。

• 对任何数 x 进行 NOT 操作的结果为 -(x + 1)，~x = -(x+1)。

• <

在位数没溢出的情况下，左移一位，可视为乘2操作，左移n位相当于乘以2的n次方

• >>(有符号右移)该操作数会将第一个操作数向右移动指定的位数。向右被移出的位被丢弃，左侧用0补充，最左侧符号位用原符号位填充。

在位数没溢出的情况下，右移一位，可视为除2操作，右移n位相当于除以2的n次方

所有符号都只是一个代表某种意义的操作符，而已！它和“加减乘除”是完全一样的！

进而我们是不是可以把这种操作符进一步抽象？把它和集合中的元素绑定在一起就形成了群论！

群(group)的基本定义：

群是一个集合G 加上一个操作符运算"#"，它结合任何两个元素a和b而形成另一个元素，记为a#b。

要成为群，这个集合和操作运算(G,#)必须满足叫做群公理(group axioms)的四个要求：

• (1)封闭性(closure)：对于所有G中a,b，运算a＃b的结果也在G中。
• (2)结合性(Associativity)：对于所有G中的a,b和c，等式 (a#b)#c=a#(b#c)成立。
• (3)单位元(Identity element)：G中存在一个元素e，对于所有G中的元素a，等式 e#a = a#e = a 成立。
• (4)逆元(Inverse element)：对于每个G中的a，存在G中的一个元素b使得 a#b=b#a=e。

注意：

• (1)"#"可以是带有任何有意义的操作符，有一些不一定满足交换律，即a#b!=b#a，比如矩阵运算。
• (2)单位元和逆元是唯一的。
• (3)然后群还有　阿贝尔群，循环群，半群，幺半群，子群，群同态，群同构，陪集，商群等概念，数学家总结的一些定理精彩致极！
• (4)你可能会感受到到5次方程的根无解问题原来如此简单
• (5)你可能会看费马小定理变得如此显然，不就是1＋1＝2一样自然的吗？

希望各位鉴赏完后，再来看前面的位运算操作炫技，是否是雕虫小技??......

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