Memristor+Matlab 仿真（四）

流控型忆阻器数学建模

Chua将忆阻器分为四类，分别是理想忆阻器，通用忆阻器、理想—通用忆阻器和扩展忆阻器[2]。并且分别给出了四种不同忆阻器的数学模型的表达式。根据chua提出的通用忆阻器模型[1]，若数学模型满足以下形式的二端器件可以称为电流控制型通用忆阻器

方程（5）与方程（6）确定了本文研究的忆阻器数学模型，其中方程（5）决定了状态变量x与流过的电流有关。方程（6）决定了忆阻器的伏安关系。

忆阻器在不同频率激励下的滞回曲线图

滞回曲线是忆阻器的重要特征之一。根据Chua的忆阻器判断准则，任意二端元件在周期性电流源的激励下，若其输出电压呈现过原点的“8”字滞回曲线，则该元件可以被称为忆阻器。并且，当频率逐渐升高时，滞回曲线会收缩为单值函数[4]，从而变成代表普通线性电阻的直线。

当输入周期性交流激励为低频信号时，忆阻器的李萨如图形呈现为“8”字滞回曲线（不关于原点对称）。当频率逐渐升高时，滞回曲线会收缩，回环面积会减少。频率增高到一定程度时。滞回曲线逐渐收缩成一条关于原点对称的直线，滞回曲线特征消失，该器件退化为一个线性电阻。

忆阻器的非易失性-->断电图（POP图）

根据Chua提出的非易失性原理[1]：如果忆阻器的POP图与x轴有两个或两个以上的稳定平衡点，可以称该忆阻器具有非易失性。因此，忆阻器的非易失性可以由断电图来确定。

断电图是分析忆阻器的动态特性的工具之一。它表示当输入电流im=0 时，状态变量的变化率（dxdt ）与x 之间的轨迹图：

由上式可知，在x 是标量的特殊情况下，POP图只是 f(x,0) 关于x 的二维平面图。将表达式(6)带人得到

若在平衡点左边dx/dt>0，平衡点右边dx/dt<0，则该平衡点收敛，称该点为稳定平衡点。若平衡点左边dx/dt<0，右边dx/dt>0，则该平衡点发散，称为不稳定平衡点。从图3中可以看出，Q1与Q3为稳定平衡点，Q2为不稳定平衡点。根据忆阻器VCR方程，将x带入等式（6）的R(x)，这两个稳定平衡点分别对应两个忆阻值：

这意味着，当初始状态x(0)<0时，若忆阻器突然断电，忆阻值会逐渐随POP图轨迹稳定在R=1处。当初始状态x(0)>0时，若忆阻器突然断电，忆阻值会逐渐稳定在R=-1处。

该忆阻器可以应用于制作二进制存储器。设置R=1表示二进制状态的“0”，R=-1表示二进制状态的“1”。当遇到意外性断电时，忆阻器的忆阻值会逐渐稳定在平衡点处，由忆阻器构成的存储器会将忆阻值对应的信息数据保存下来，不会丢失。由于该存储器具有断电不丢失信息的特性，所以称该忆阻器具有非易失性。

忆阻器的局部有源性-->直流V-I曲线

根据方程（5）提出的忆阻器状态方程，可以看出它是一个关于x的三次方程。因此，对于任意输入电流对应三个不同的状态变量平衡点x。再结合VCR方程（6），可以得出对于任意输入电流有三个不同的输出电压，忆阻器的直流V-I轨迹如图所示:

仔细观察发现图中的蓝色曲线（平衡点Q3）和红色曲线（平衡点Q2）在 =0附近斜率为负，绿色曲线（平衡点Q1）在IM=0附近斜率为正。所以蓝色与红色曲线为有源，绿色曲线无源。于是得出结论：Q1是无源稳定平衡点，Q2是有源不稳定平衡点，Q3是有源稳定平衡点。由于平衡点Q3是稳定的且在工作在忆阻器的有源区域内，可作为电源向外界稳定提供能量，因此认为该忆阻器具有局部有源特性。

基于忆阻器的混沌电路

时域波形图

混沌系统的相图 (a)x-i二维相图；（b）x-v二维相图；（c）x-i-v三维相图

（1）初始状态设为（0.1，0.1，0.2）时

（2）初始状态设为（0.1，0.1，-0.2）时

随参数L变化的李雅普诺夫指数

随参数L变化的分岔图