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哈夫曼树（哈夫曼编码）

1. 什么是哈夫曼树
2. 哈夫曼树的创建
3. 哈夫曼树的应用（哈夫曼编码）
4. 哈夫曼编码的例题

1. 什么是哈夫曼树

若一个二叉树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树。（什么是带权路径长度呢？就是一个二叉树的叶子节点上的权值（权值不是叶子结点的所表示的数据，而就是一个值两点之间的路径值，）乘以该叶子结点所在的层数）
并且哈夫曼树中，只有叶子结点才是所代表的节点（其余节点，其实是在创建过程中，补充的节点，接下来的哈夫曼树的创建，就明白了。）

2. 哈夫曼树的创建

假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，哈夫曼树的构造规则为：

将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林（每棵树仅有一个结点）；

在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；

从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；

重复（02）、（03）步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

以{5，6，7，8，15}为例，来构造一棵哈夫曼树

由图可以看出，类似于11,15，26都是补充的，而不是原本的节点。所以，哈夫曼树中叶子结点才是最重要的

3. 哈夫曼树的应用（哈夫曼编码）

哈夫曼编码：
哈夫曼树可以直接应用于通信及数据传送中的二进制编码。设： D=｛d1，d2，d3…dn｝为需要编码的字符集合。
W=｛w1，w2，w3，…wn｝为D中各字符出现的频率。现要对D中的字符进行二进制编码，使得：
（1）按给出的编码传输文件时，通信编码的总长最短。
（2）若di不等于dj，则di的编码不可能是dj的编码的开始部分（前缀）。
满足上述要求的二进制编码称为最优前缀编码。上述要求的第一条是为了提高传输的速度，第二条是为了保证传输的信息在译码时无二性，所以在字符的编码中间不需要添加任意的分割符。
对于这个问题，可以利用哈夫曼树加以解决：用d1，d2，d3…dn作为外部结点，用w1，w2，w3…wn作为外部结点的权，构造哈夫曼树。在哈夫曼树中把从每个结点引向其左子结点的边标上二进制数“0”，把从每个结点引向右子节点的边标上二进制数“1”，从根到每个叶结点的路径上的二进制数连接起来，就是这个叶结点所代表字符的最优前缀编码。通常把这种编码称为哈夫曼编码。例如：
D=｛d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，d8，d9，d10，d11，d12，d13｝ W=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41｝利用哈夫曼算法构造出如下图所示的哈夫曼树：

从而得到各字符的编码为：

d1:1011110 d2:1011111

d3:101110 d4:10110

d5:0100 d6:0101

d7:1010 d8:000

d9:001 d10:011

d11:100 d12:110

d13:111

编码的结果是，出现频率大的字符其编码较短，出现频率较小的字符其编码较长。

4. 哈夫曼编码的例题

原题链接

思路：

判断哈夫曼编码有两个条件：

WPL最小（由于本题所给的数据是编码，不能求最短带径长度，我们可以通过每个节点出现的次数，进而求得所有节点出现的总次数而判断
首先我们构建所给数据的哈夫曼树，然后把所有的节点权值相加起来，这就是这棵树所有节点出现的总次数。
之后我们把需要判断的信息的编码长度 × 出现的次数，的总和就是所有节点出现的次数。我们通过判断这两个值，就可以知道，是不是同一个哈夫曼树了）
（原因如下：
由图中我们可以看出，编号0，出现一次，也就是节点出现一次，所以这样的话，我们就可以通过对所给信息，和需要判断的信息进行对比，进而比较是否为同一个哈夫曼树，或者说，是否满足wpl都是最小的性质
）

一个编码不能是其他编码的前缀

#include <iostream>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
int sum=0;
bool Check(int *a,string *ss,int n)
{int len=0;string l,s;int c;for(int i=0; i<n; i++){for(int j=i+1; j<n; j++){c=min(ss[i].length(),ss[j].length());if(ss[i].substr(0,c)==ss[j].substr(0,c))//检查是否存在一个编码是另一个编码的前缀{return false;}}len+=a[i]*ss[i].length();}if(len!=sum)//如果长度不是最短长度return false;return true;
}
int main()
{priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > Q;string ss[1001],s,code[1001];int n,n2,a[1001],t=0;cin>>n;for(int i=0; i<n; i++){cin>>ss[i];cin>>a[i];Q.push(a[i]);}while(Q.size()>1)//求最短编码的长度{t=0;t+=Q.top();Q.pop();t+=Q.top();Q.pop();sum+=t;Q.push(t);}cin>>n2;for(int i=0; i<n2; i++){for(int j=0; j<n; j++){cin>>s;cin>>code[j];}if(Check(a,code,n)==true){cout<<"Yes"<<endl;}else{cout<<"No"<<endl;}}return 0;
}

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