组合数学 排列组合基本问题总结
1. 从n个不同元素中允许重复地选取r个元素的组合数是C(n+r-1,r)
证明思路:采用划归转化的思想,将可重组合转化为无重组合,证明的一般思路:
1. 先设出一组有序序列
2. 对该序列进行变换
3. 将变换后的序列转化为在一个区间里求无重组合。
证明过程:
2. 可重排列
3. 可重组合与方程解的个数的对应关系
设n个盒子放的数量分别为 x1,x2,x3.....xn。那么满足 x1+x2+x3+x4+....xn=r(xi>=q)
为了转化为我们熟悉的x1+x2+x3...=d(xi>=1),我们需要做一些变化
设yi=xi-q+1,那么 yi>=1,
y1+y2+y3....=r-n*q+n(yi>=1)
这样就转化成了n个数,每个数大于等于1,问最后和为 r-n*q+1的解有多少个,问题就变成了n个盒子去分r-n*q+1个球的问题,采用隔板原理即可。r-n*q+n-1个空,插n-1个隔板即可。
最后答案:C(n+(r-nq)-1,r-nq)
4. 相关组合恒等式的证明
(1) C(n, r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)
证明方式:任选一个数 c,那么从n个数里面选r个数,只有两种情况,第一,包含c,第二不包含c。
包含c,那么剩下去n-1个里面选 r-1个即可
不包含c,那么去n-1个里面选r个即可。
所以,原式得证
(2) C(n,l)C(l,r)=C(n,r)C(n-r,l-r)
证明方式:左式:班级共n位同学,选出l位班委,班委中选出r位为核心;
右式:先从n个同学中选出r个核心,再从剩下的n-r中选剩下的l-r班委
(3) C(n+r+1,r) = C(n+r,r) + C(n+r-1,r-1)+… + C(n+1,1)+C(n,0).
证明方式:和第1题非常类似,考虑包含1个,2个....r个的情况
(1)组合中不含a1,从a1以外的(n+r)个元素取r个元素,组合数:C(n+r,r);
(2)组合中含a1,不含a2,从除a2外的(n+r-1)个元素取(r-1)个元素:组合数 C(n+r-1,r-1); … (i)组合数中含a1,a2,…,ai-1,但不含ai,则从(n+r+1-i)元素中取(r-(i-1))个元素,组合数:C(n+r-i+1,r-i+1);
(r)组合数中含a1,a2,…,ar, 只有这一种情形 C(n,0)。
由加法原理,得证。
(4) C(m+n,r)=C(m,0)C(n,r)+C(m,1)C(n,r-1)+ …+C(m,r)C(n,0)
证明思路:考虑用m个蓝色乒乓球,n个红色乒乓球来证明。
5. 二项式定理
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