时间序列研(part3)--单积性

2024-05-16 00:15:04

学习笔记，仅供参考，有错必纠

文章目录

时间序列
- 单积(整)性
- 单积过程的统计特征
- - 随机游走过程
  - AR(1)过程
  - 随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较

时间序列

单积(整)性

若一个随机过程{xt}\{x_t \}{xt}必须经过d次差分之后才能变换成一个平稳的可逆的ARMA过程，则称{xt}\{x_t \}{xt}是d阶单积(单整)过程. 用xt∼I(d)x_t \sim I(d)xt∼I(d)表示.

对于I(d)I(d)I(d)过程xtx_txt：
Φ(L)(1−L)dxt=Θ(L)μt\Phi(L)(1-L)^d x_t = \Theta(L) \mu_t Φ(L)(1−L)dxt=Θ(L)μt
因为含有d个单位根，所以常把时间序列单积阶数的检验称为单位根检验（unit root test）

单积过程的统计特征

以随机游走过程和平稳的AR(1)过程作比较.

随机游走过程

对于随机游走过程：
xt=xt−1+μt,x0=0,μt∼IN(0,σu2)x_t = x_{t-1} + \mu_t , x_0 = 0, \mu_t \sim IN(0, \sigma^2_u) xt=xt−1+μt,x0=0,μt∼IN(0,σu2)
有xt=xt−2+μt−1+μt=⋯=∑i=1tμix_t=x_{t-2} + \mu_{t-1} + \mu_t = \cdots = \sum_{i=1}^t \mu_ixt=xt−2+μt−1+μt=⋯=∑i=1tμi (具有永久记忆)

AR(1)过程

对于AR(1) 过程：
yt=ϕ1yt−1+vt,∣ϕ1∣<1,y0=0,vt∼IN(0,σv2)y_t= \phi_1 y_{t-1} + v_t, |\phi_1| < 1, y_0 = 0, v_t \sim IN(0, \sigma^2_v) yt=ϕ1yt−1+vt,∣ϕ1∣<1,y0=0,vt∼IN(0,σv2)

有：

随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较

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