FHQ-Treap 简介

FHQ-treap 即非旋Treap，是一种短小精悍，功能丰富的平衡树。

据说它的效率介于 Treap 和 Splay 之间（可能是我的FHQ常数比较小，跑得比我的Treap还快）。

它可以实现 Splay 可以实现的所有功能，包括平衡树的基本操作和区间翻转操作。

它的实现难度比 Splay 要简单很多，没有 Splay 那么多转来转去的操作，不会令人头晕，而且FHQ代码的对称性良好，易于调试。

有两种 FHQ-Treap，一种是按值为关键字的，一种是按下标为关键字的（适用于区间翻转等操作时）。

FHQ-Treap 类似于Treap，都有一个随机的 key 值，以此来保持树的平衡。

Split (分裂) & merge (合并)

FHQ-Treap 的核心操作为 split \text{split} split (分裂) 和 merge \text{merge} merge (合并)。

split ( r o o t , v a l , x , y ) \text{split}(root,val,x,y) split(root,val,x,y) 表示将 r o o t root root 的子树拆分为两半，一半中的值(或下标)都小于等于 v a l val val, 一半的值都大于 v a l val val。

merge ( x , y ) \text{merge}(x,y) merge(x,y) 表示将 x x x 子树和 y y y 子树合并起来，要保证x中的元素都小于y中的元素。

具体操作都是依靠 split \text{split} split 和 merge \text{merge} merge 来实现的。

// 按值为关键字
struct Node
{int l,r; // 左右儿子编号int val;// 真实值int key;// 随机值int size;// 子树大小
}fhq[N];void pushup(int u){ // 维护其子树大小fhq[u].size = fhq[fhq[u].l].size + fhq[fhq[u].r].size + 1;
}inline void split(int u,int val,int &x,int &y) // 递归实现
{if(!u) {// 空节点x = y = 0;return;}if(fhq[u].val <= val) { // 点的值大于val,递归其右儿子x = u;split(fhq[u].r,val,fhq[u].r, y);}else { // 点的值小于val,递归其左儿子y = u;split(fhq[u].l,val,x,fhq[u].l);}pushup(u); // 维护其子树大小
}
inline int merge(int x,int y)
{if(!x || !y) return x | y;  // 有一个子树为空，不需要操作if(fhq[x].key >= fhq[y].key) { // key 为随机值，这里是保证平衡的关键fhq[x].r = merge(fhq[x].r,y); // 将y接到右儿子或更下方上，递归合并pushup(x);return x;}else {fhq[y].l = merge(x,fhq[y].l);pushup(y);return y;}
}

insert (插入)

// 插入一个值为 val 的点
int create(int val) { // 新建一个值为val的点fhq[++cnt].val = val,fhq[cnt].key = rnd(),fhq[cnt].size = 1;return cnt;
}
void insert(int val){ split(root,val,x,y); // 按val分裂成x,y，x中的元素都小于val，以此满足merge需要的性质root = merge(merge(x,create(val)), y); // 将x,新建的值为val的点，y合并
}

删除

//删除一个值为val的点
void del(int val) {split(root,val,x,z);split(x,val-1,x,y); // 前面两行将val点(y)抠出来y = merge(fhq[y].l,fhq[y].r); // 直接合并y的左节点和右节点，即为删除yroot = merge(merge(x,y),z); // 合并即可
}

按值获取排名

//找到val在树中的排名
void getrank(int val) {split(root,val-1,x,y); // 抠出小于val的那些点(x)printf("%d\n",fhq[x].size+1); // x的size即为小于val的点的个数, 加上val自己即为排名root = merge(x,y);
}

按排名获取值

//获取排名为rank的点的值
void getval(int rank) {int u = root;while(u) {// fhq[fhq[u].l].size为值小于点u的点的个数if(fhq[fhq[u].l].size + 1 == rank) break; // 找到了!!!if(fhq[fhq[u].l].size >= rank) u = fhq[u].l; // 发现rank在左儿子中，递归查找左儿子else rank -= fhq[fhq[u].l].size + 1, u = fhq[u].r; // 发现rank在右儿子中，递归查找右儿子前要减去rank的值}printf("%d\n", fhq[u].val);
}

找前驱

// 找到小于val的最大值
void pre(int val) {split(root,val-1,x,y); // 先抠出小于val的值(x)int u = x;while(fhq[u].r) u = fhq[u].r; // 在小于val的值中找最大值printf("%d\n",fhq[u].val);root = merge(x,y);
}

找后继

// 找大于val的最小值
void nxt(int val) {split(root,val,x,y); // 先抠出大于val的值(y)int u = y;while(fhq[u].l) u = fhq[u].l; // 在大于val的值中找最小值printf("%d\n",fhq[u].val);root = merge(x,y);
}

完整板子

点击查看代码

// P3369 【模板】普通平衡树
// 因为这里加了两个哨兵，所以实现和上面介绍的有一点点区别
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;struct Node {int l,r;int val;// real valueint key;// for treapint size;
} fhq[N];
int root,cnt;mt19937 rnd(233);int create(int val) {fhq[++cnt].val = val,fhq[cnt].key = rnd(),fhq[cnt].size = 1;return cnt;
}void pushup(int u) {fhq[u].size = fhq[fhq[u].l].size + fhq[fhq[u].r].size + 1;
}void split(int u,int val,int &x,int &y) {if(!u) {x = y = 0;return;}if(fhq[u].val <= val) {x = u;split(fhq[u].r,val,fhq[u].r, y);} else {y = u;split(fhq[u].l,val,x,fhq[u].l);}pushup(u);
}int merge(int x,int y) {if(!x || !y) return x + y;if(fhq[x].key >= fhq[y].key) {fhq[x].r = merge(fhq[x].r,y);pushup(x);return x;} else {fhq[y].l = merge(x,fhq[y].l);pushup(y);return y;}
}int x,y,z;
void insert(int val) {split(root,val,x,y);root = merge(merge(x,create(val)), y);
}void del(int val) {split(root,val,x,z);split(x,val-1,x,y);y = merge(fhq[y].l,fhq[y].r);root = merge(merge(x,y),z);
}void getrank(int val) {split(root,val-1,x,y);printf("%d\n",fhq[x].size);root = merge(x,y);
}void getval(int rank) {rank++;int u = root;while(u) {if(fhq[fhq[u].l].size + 1 == rank) break;if(fhq[fhq[u].l].size >= rank) u = fhq[u].l;else rank -= fhq[fhq[u].l].size + 1, u = fhq[u].r;}printf("%d\n", fhq[u].val);
}void pre(int val) {split(root,val-1,x,y);int u = x;while(fhq[u].r) u = fhq[u].r;printf("%d\n",fhq[u].val);root = merge(x,y);
}void nxt(int val) {split(root,val,x,y);int u = y;while(fhq[u].l) u = fhq[u].l;printf("%d\n",fhq[u].val);root = merge(x,y);
}int main() {int n;scanf("%d",&n);insert(2147483647), insert(-2147483647); // 哨兵while(n--) {int opt,val;scanf("%d%d",&opt,&val);if(opt == 1) insert(val);if(opt == 2) del(val);if(opt == 3) getrank(val);if(opt == 4) getval(val);if(opt == 5) pre(val);if(opt == 6) nxt(val);}return 0;
}

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