FHQ Treap 总结

【前言（一堆废话）】
目前 OI 竞赛中两大主流平衡树之一就是 FHQ Treap（另一个是 Splay）。
普通 BST 的中序遍历中，val 值构成一个单调递增的序列。
Treap 在 BST 的基础上，维护了一个 key 值，使其 val 满足 BST 性质，key 满足 Heap 性质。在维护 Heap 性质的同时，使 Treap 的树高期望是 log(n)。通常情况下，key 值是随机的。
普通的 Treap 通过旋转维护 Heap 性质，实现简单且性能优越，相关资料也很广泛，这里就不在赘述。
FHQ Treap，又称非旋 Treap，函数式 Treap。由神犇FHQ首先提出（OrzOrzOrz）。函数式编程的思想，使其可以实现持久化。

【核心操作】
FHQ Treap 有两个核心操作，split 和 merge。
split 的作用是将一棵树分裂成两部分，其中左半部分的子树 size == k。
其实也可以按结点 val 值分裂，这样就可以完成普通平衡树的操作。

void split(int o, int k, int &x, int &y) { // 将根为 o 的树分裂成以 x, y 为根的两棵树，其中 x 的子树大小为 kif (!o) { x = y = 0; return; } // o 不存在, 返回int c = t[t[o].lc].size; // o 左子树大小push_down(o); // 先把维护的信息下推if (c < k) { // 左子树 size 不够，递归到右子树处理x = o; split(t[o].rc, k - c - 1, t[o].rc, y);}else { // 左子树 size 以能满足要求，递归到左子树处理y = o;split(t[o].lc, k, x, t[o].lc);}push_up(o); // 分裂完成后，信息上推
}

merge 操作的作用是将两棵树合并，返回合并后的根节点

int merge(int x, int y) { // 合并以 x, y 为根的两棵树，返回合并后的根节点if (!x || !y) return x | y; // 其中一棵为空树，返回非空的树if (t[x].key < t[y].key) { // 维护小根堆push_down(x);t[x].rc = merge(t[x].rc, y); // 递归处理，注意要保证中序遍历 x 在 y 左边push_up(x);return x;}else {push_down(y);t[y].lc = merge(x, t[y].lc);push_up(y);return y;}
}

通过这两个操作可以完成任何 Splay 能够完成的操作。
例题：洛谷 P3391 【模板】文艺平衡树
每次 split 出 [1，l - 1]，[l，r]，[r + 1，n] s三个区间，再打上反转标记。

【其他操作】
父指针：通常情况下，FHQ Treap不用维护父指针。如果一定要维护也没问题。只需在 push_up 函数中加上

if (lc) t[lc].fa = o; // 注意无左（右）子树的情况
if (rc) t[rc].fa = o;

在 split 后，将分裂出的子树父指针清空

t[u].fa = t[v].fa = 0; // 分裂出以 u, v 为根的子树

建树：最简单的，暴力插入建树

for (int i = 1; i <= n; i++) root = merge(root, new_node(i));

时间复杂度O(nlogn))，已经很优秀。但在某些时候会成为性能瓶颈。

考虑到 key 值满足笛卡尔树的性质，所以可以用同样的思路建树。
用单调栈维护树的最右链，注意要维护左右子树指针，同时 push_up。

int build(int *a, int k) { // 以 a[] 中 [1, k] 建树int root = 0;memset(s, 0, sizeof s); // 清空栈for (int i = 1, x, y; i <= k; ++i) {x = new_node(a[i]), y = 0;while (top && t[x].key < t[s[top]].key) { y = s[top--]; push_up(y); }s[++top] = x;t[x].lc = y;if (top) t[s[top - 1]].rc = x;if (top == 1) root = x; // 维护根结点}while (top) push_up(s[top--]);return root;
}

时间复杂度 O（n），与 Splay 建树持平

【优缺点】
优点：代码短，易实现。不用旋转。拓展性强。
缺点：作为 LCT 的辅助树时，时间复杂度比 Splay 多一个 log。

【可持久化】
等我学了在写。。。

【经典题目】
略。。。

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