0. 简单介绍

FHQ Treap,以下简写为fhq,是一种treap(树堆)的变体,功能比treap强大,代码比splay好写,易于理解,常数稍大.
fhq不需要通过一般平衡树的左右旋转来保持平衡,而是通过分裂split和合并merge来实现操作.
本文力求简明易懂,在看本文前最好先了解过一种平衡树的基本写法,否则代码部分有可能看不懂.

1. 前置操作

置渲染成一坨了现在修好了

结构

以结构体作为树的每一个节点,存储左子树和右子树的位置,权值,堆权值(用处在下面会说)和子树大小.一般子树大小用于查排名和查值.
root是树根编号,idx是点的编号,x,y,z在下面会用到.

struct Node {int l, r; // 左右子树编号int key, val;  //key权 val堆权int size;  //子树大小
} tr[N];
int root, idx;
int x, y, z;

fhq和treap一样满足treap的性质,也就是既是BST,又是随机权值的堆.
至于为什么满足堆的性质的BST就能平衡,有如下定理保证:

一颗有n个不同关键字随机构建的BST的期望高度为 l o g n logn logn.

随机堆的权值正是模拟了随机构建BST,所以treap是平衡的,同理fhq也平衡.

但是事实上fhq按照这种结构并不是一个标准的BST,后面我会解释.

创建节点和更新子树大小

int get_node(int key) {tr[++idx].key = key;tr[idx].val = rnd();tr[idx].size = 1;return idx;
}
void update(int p) {tr[p].size = tr[tr[p].l].size + tr[tr[p].r].size + 1;
}

子树大小由两侧子树和根节点更新.
rnd()为随机值产生函数,需要导入random库,在开头写下如下代码:

std::mt19937 rnd(233);  //高性能随机数生成器 随机范围大概在(maxint,+maxint),233为种子,19937指该随机数循环节为2^19937

分裂 s p l i t split split

split操作按key将树由根root开始将树分为两颗x,y,其中x子树中的权值<=key,y中子树的权值>key.下面的x和y都以此为标准.

split的操作如下

递归遍历左右子树
如果当前节点值<=key,则前当前节点及其左子树都可以放到x上,右子树中可能有可以放到x上的(<=key),继续递归
如果当前节点值 > key,则前当前节点及其右子树都可以放到y上,左子树中可能有可以放到y上的( > key),继续递归
若当前节点为0,说明为空,令x = y = 0,返回

注意这个操作中x和y都是引用,每一层的x和y都表示一层中的树的根节点.

//将p子树以按key拆成x和y子树,其中x中的点<=key,y中全部大于key
void split(int p, int key, int &x, int &y) {if (!p)x = y = 0;else {if (tr[p].key <= key) {               //当前节点小,放x上x = p;                            //x上暂时放的p子树,还要去看p的右子树split(tr[p].r, key, tr[p].r, y);  //去看p右子树,如果有小于key的(大于根)则应该保留在p右子树上(最后给x),否则放在y上} else {y = p;split(tr[p].l, key, x, tr[p].l);  //去看p左子树,如果有>=key的则应该放在p左子树上(最后给y),否则放在x上}update(p);//写在else里面,防止更新0点(否则0点size++,所有结果都不对)}
}

合并 m e r g e merge merge

merge操作按照堆权合并x,y两颗子树,合并前要保证x子树中的权值<y子树中的权值

图中黄字为堆权,可以看到8如果直接合并在7的右侧深度会变为4,而根据堆权来看,8堆权为7,7的堆权为3,故排在7的上面,所以如此合并后树仍然平衡.

//合并x,y子树,其中x子树的值<=y子树的值
int merge(int x, int y) {if (!x || !y) return x + y;       //x = 0答案是y,y = 0答案是x,也就是如果有一个子树为空则返回另一个子树if (tr[x].val > tr[y].val) {      //x在堆中是在y的上方,而值小于y,故在y的左上方tr[x].r = merge(tr[x].r, y);  //让x的右子树和y合并update(x);return x;} else {                          //x在y的左下方tr[y].l = merge(x, tr[y].l);  //x和y的左子树合并// 不能写成merge(tr[y].l,x) 必须满足x < yupdate(y);return y;}
}

2. 一般操作

i n s e r t insert insert

插入值为key的节点,只需要将树按key划分(x<=key,y>key),让x树和新节点key合并,再和y后合并即可.
注意:fhq中没有相同节点记录,也就是同值的节点会多次添加,所以不是一颗严格的BST,可能会增加树高.但是这不影响我们划分出x和y.文末会给出记录重复节点的写法.

void insert(int key) {split(root, key, x, y);                    //按k分割root = merge(merge(x, get_node(key)), y);  //在x与key节点合并,再与key合并
}

d e l e t e delete delete

删除值为key的节点,将树划分两次,一次按原树以key划分为(x,z),一次按x树以key-1划分为(x,y),那么中间那颗树y上的节点值都为key.
在y上删除一个节点即可,可以选择根节点删除,而删根节点只需要让根节点等于左右子树合并即可(根就没了).最后再合并起来

void del(int key) {split(root, key, x, z);split(x, key - 1, x, y);//x<=key ,再分x <= key - 1,y就是=key的树y = merge(tr[y].l, tr[y].r);   //删除y点(根)root = merge(merge(x, y), z);  //合并x,y,z
}

g e t _ r a n k _ b y _ k e y get\_rank\_by\_key get_rank_by_key

按值查排名,按key-1划分为x,y,x树大小+1就是排名

//按值查排名
int get_rank(int key) {split(root, key - 1, x, y);  //按key-1分割,x子树大小+1就是排名key = tr[x].size + 1;        //储存x的大小+1root = merge(x, y);return key;
}

g e t _ k e y _ b y _ r a n k get\_key\_by\_rank get_key_by_rank

按排名查值,搜索

//按排名查值
int get_key(int rank) {int p = root;//循环写法while (p) {if (tr[tr[p].l].size + 1 == rank)break;  //找到排名了else if (tr[tr[p].l].size >= rank)p = tr[p].l;  //当前size>=rank,去左子树else {//去右子树中找rank -= 左子树大小+1(根)的排名rank -= tr[tr[p].l].size + 1;p = tr[p].r;}}return tr[p].key;
}

p r e pre pre

//返回<key的最大数
int get_prev(int key) {//按key-1分,x最右节点就是前驱split(root, key - 1, x, y);int p = x;while (tr[p].r) p = tr[p].r;  //向右走key = tr[p].key;              //临时存储root = merge(x, y);return key;
}

n e x t next next

//返回>key的最小数
int get_next(int key) {split(root, key, x, y);  //按key分y最左节点是后继int p = y;while (tr[p].l) p = tr[p].l;key = tr[p].key;root = merge(x, y);return key;
}

例题

洛谷 P3369 【模板】普通平衡树

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：

插入 x x x 数

删除 x x x 数(若有多个相同的数，因只删除一个)

查询 x x x 数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数 +1 )

查询排名为 x x x 的数

求 x x x 的前驱(前驱定义为小于 x x x，且最大的数)

求 x x x 的后继(后继定义为大于 x x x，且最小的数)

AC代码

#include <iostream>
#include <random>
#define print(a) printf("%d\n",a)
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;
std::mt19937 rnd(233);
struct Node{int l,r;int key,val,size;
}tr[N];
int x,y,z;
int root,idx;void update(int p){tr[p].size = tr[tr[p].l].size + tr[tr[p].r].size + 1;
}int get_node(int key){tr[++ idx].key = key;tr[idx].val = rnd();tr[idx].size = 1;return idx;
}void split(int p,int key,int &x,int &y){if(!p) x = y = 0;else{if(tr[p].key <= key){x = p;split(tr[p].r,key,tr[p].r,y);}else{y = p;split(tr[p].l,key,x,tr[p].l);}update(p);}
}int merge(int x,int y){if(!x || !y)return x + y;if(tr[x].val > tr[y].val){tr[x].r = merge(tr[x].r,y);update(x);return x;}else{tr[y].l = merge(x,tr[y].l);update(y);return y;}
}
void insert(int key){split(root,key,x,y);root = merge(merge(x,get_node(key)),y);
}void del(int key){split(root,key,x,z);split(x,key - 1,x,y);y = merge(tr[y].l,tr[y].r);root = merge(merge(x,y),z);
}void get_rank(int key){split(root,key - 1,x,y);print(tr[x].size + 1);root = merge(x,y);
}
void get_key(int rank){int p = root;while(p){if(tr[tr[p].l].size + 1 == rank){break;}else if(tr[tr[p].l].size >= rank){p = tr[p].l;}else{rank -= tr[tr[p].l].size + 1;p = tr[p].r;}}print(tr[p].key);
}
void get_prev(int key){split(root,key-1,x,y);int p = x;while(tr[p].r)p = tr[p].r;print(tr[p].key);root = merge(x,y);
}void get_next(int key){split(root,key,x,y);int p = y;while(tr[p].l)p = tr[p].l;print(tr[p].key);root = merge(x,y);
}int main(){int n;scanf("%d",&n);int op,x;while(n --){scanf("%d%d",&op,&x);if(op == 1)insert(x);else if (op == 2)del(x);else if (op == 3)get_rank(x);else if (op == 4)get_key(x);else if (op == 5)get_prev(x);else get_next(x);}}

3. 文艺操作

待更新…

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