概率分布：Bernoulli分布，二项分布，multinoulli分布和多项分布

2024-06-03 14:18:20

Bernoulli分布

在现实生活中，许多事件的结果往往只有两个，例如：抛硬币结果只有正面朝上或反面朝上，这类事件被称为伯努利试验。其概率分布称为Bernoulli分布，也称为两点分布、0-1分布，是最简单的离散型概率分布。
假设某个试验是伯努利试验，x∈{0,1}x\in \{0,1\}x∈{0,1}，xxx取1概率为p，取0的概率为1-p。则其概率质量函数为：
P(x)=px(1−p)(1−x)P(x)=p^x(1-p)^{(1-x)} P(x)=px(1−p)(1−x)

二项分布

二项分布(binomial distribution)用以描述N次独立的伯努利实验中有m次xxx取1的概率，可用下面公式来计算：
P(x=m)=N!m!(N−m)!pm(1−p)(N−m)P(x=m)=\frac{N!}{m!(N-m)!}p^m(1-p)^{(N-m)} P(x=m)=m!(N−m)!N!pm(1−p)(N−m)

multinoulli分布

mutinoulli分布也称作范畴分布、分类分布(categotical distribution)，是 Bernoulli分布从两个取值状态到多个取值状态的扩展。具体来说，mutinoulli分布是指在具有k个不同状态的单个离散型随机变量上的分布，其中k是一个有限值，且满足k个状态的概率之和为1。例如：掷骰子游戏中，每次投掷可能出现6种结果，对应6个状态，每个状态的概率均为六分之一。
假设xxx服从multinoulli分布，x∈{0,1}kx\in \{0,1\}^kx∈{0,1}k，每次采样时xxx仅取一个状态，即∑i=1kxi=1\sum\limits_{i=1}^{k}x_i=1i=1∑kxi=1。xxx取xix_ixi的概率为pip_ipi，且有∑i=1kpi=1\sum\limits_{i=1}^{k}p_i=1i=1∑kpi=1，类似地，其概率质量函数可表示为：
P(xi=1)=∏i=1kpixiP(x_i=1)=\prod\limits_{i=1}^{k}p_i^{x_i} P(xi=1)=i=1∏kpixi

多项分布

多项分布(nultinomial distribution)可看作multinoulli分布的扩展，表示当对mutinoulli分布采样N次时k个状态中的每一个被访问的次数。则在N次独立实验中有mim_imi次xix_ixi取1的概率为：
P(m1,m2,...,mk)=N!m1!m2!...mk!∏i=1kpimiP(m_1,m_2,...,m_k)=\frac{N!}{m_1!m_2!...m_k!}\prod\limits_{i=1}^{k}p_i^{m_i} P(m1,m2,...,mk)=m1!m2!...mk!N!i=1∏kpimi
此外，多项分布也可看作二项分布从两个取值状态到多个取值状态的扩展。

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