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1. 伯努利分布

伯努利分布(Bernoulli distribution)又名两点分布或0-1分布，介绍伯努利分布前首先需要引入伯努利试验（Bernoulli trial）。

伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验，即对于一个随机变量X而言：

$P_r[X=1]=p$

$P_r[X=0]=1-p$

伯努利试验都可以表达为“是或否”的问题。例如，抛一次硬币是正面向上吗？刚出生的小孩是个女孩吗？等等

如果试验E是一个伯努利试验，将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。

进行一次伯努利试验，成功(X=1)概率为p(0<=p<=1)，失败(X=0)概率为1-p，则称随机变量X服从伯努利分布。伯努利分布是离散型概率分布，其概率质量函数为：

$f(x) = p^x(1-p)^{1-x} =\left\{ \begin{array}{ll} p & if \ x=1 \\ 1-p & if\ x=0 \\ 0 & otherwise \end{array} \right.$

2. 二项分布

二项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布。

如果试验E是一个n重伯努利试验，每次伯努利试验的成功概率为p，X代表成功的次数，则X的概率分布是二项分布，记为X~B(n,p)，其概率质量函数为

$P\lbrace X=k\rbrace = C_n^k p^k(1-p)^{n-k}, k=0,1,2,....,n.$

显然，

$\sum_{k=0}^n{ P\{ X=k \} } = \sum_{k=0}^n{C_n^k p^k(1-p)^{n-k}} = [p+(1-p)]^n = 1$

从定义可以看出，伯努利分布是二项分布在n=1时的特例

二项分布名称的由来，是由于其概率质量函数中使用了二项系数 $C_n^{k}$ ，该系数是二项式定理中的系数，二项式定理由牛顿提出：
$(x+y)^n=C_n^k x^k y^{n-k}$

二项分布的典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币，k次为正面的概率即为一个二项分布概率。

3. 多项分布

多项式分布(Multinomial Distribution)是二项式分布的推广。二项式做n次伯努利实验，规定了每次试验的结果只有两个，如果现在还是做n次试验，只不过每次试验的结果可以有多m个，且m个结果发生的概率互斥且和为1，则发生其中一个结果X次的概率就是多项式分布。

扔骰子是典型的多项式分布。扔骰子，不同于扔硬币，骰子有6个面对应6个不同的点数，这样单次每个点数朝上的概率都是1/6（对应p1~p6，它们的值不一定都是1/6，只要和为1且互斥即可，比如一个形状不规则的骰子）,重复扔n次，如果问有k次都是点数6朝上的概率就是

$P\{ X=k \} = C_n^k p_6^k(1-p_6)^{n-k}, k=0,1,2,....,n.$

多项式分布一般的概率质量函数为：

$P\{ X_1=k_1,X_2=k_2,...,X_n=k_n \} = \frac{n!}{k_1!k_2!...k_n!}\prod_{i=1}^{n}{p_i^{k_i}},\ where \sum_{i=0}^n{k_i} = n.$

4. 贝塔分布

在介绍贝塔分布(Beta distribution)之前，需要先明确一下先验概率、后验概率、似然函数以及共轭分布的概念。

通俗的讲，先验概率就是事情尚未发生前，我们对该事发生概率的估计。利用过去历史资料计算得到的先验概率，称为客观先验概率；当历史资料无从取得或资料不完全时，凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率，称为主观先验概率。例如抛一枚硬币头向上的概率为0.5，这就是主观先验概率。

后验概率是指通过调查或其它方式获取新的附加信息，利用贝叶斯公式对先验概率进行修正，而后得到的概率。

先验概率和后验概率的区别：先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的，而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的；后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料，既有先验概率资料，也有补充资料。另外一种表述：先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量；而后验概率（Probability of outcomes of an experiment after it has been performed and a certain event has occured.）是在考虑了一个事实之后的条件概率。

似然函数

共轭分布(conjugacy)：后验概率分布函数与先验概率分布函数具有相同形式

好了，有了以上先验知识后，终于可以引入贝塔分布啦！！首先，考虑一点，在试验数据比较少的情况下，直接用最大似然法估计二项分布的参数可能会出现过拟合的现象（比如，扔硬币三次都是正面，那么最大似然法预测以后的所有抛硬币结果都是正面）。为了避免这种情况的发生，可以考虑引入先验概率分布 $p(\mu)$ 来控制参数 $\mu$ ，防止出现过拟合现象。那么，问题现在转为如何选择 $p(\mu)$ ！

先验概率和后验概率的关系为：

$posterior=likelihood*prior$

二项分布的似然函数为（就是二项分布除归一化参数之外的后面那部分，似然函数之所以不是pdf，是因为它不需要归一化）：

$\mu^m(1-\mu)^n$

如果选择的先验概率 $p(\mu)$ 也与 $\mu$ 和 $(1-\mu)$ 次方德乘积的关系，那么后验概率分布的函数形式就会跟它的先验函数形式一样了。具体来说，选择prior的形式是 $w_1*\mu^a(1-\mu)^b$ ，那么posterior就会变成 $w_2*\mu^{m+a}(1-\mu)^{n+b}$ 这个样子了( $w_1,w_2$ 为pdf的归一化参数)，所以posterior和prior具有相同的函数形式(都是 $p(\mu)$ 也与 $\mu$ 和 $(1-\mu)$ 次方的乘积)，这样先验概率与后验概率就是共轭分布了。

所以，我们选择了贝塔分布作为先验概率，其概率分布函数为：

$Beta(\mu|a,b)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1}}$ ，其中 $0<\mu<1,\ \Gamma(n)=(n-1)!,\ n=1,2,3...$

5. 狄利克雷分布

狄利克雷分布(Dirichlet distribution)是多项分布的共轭分布，也就是它与多项分布具有相同形式的分布函数。

概率分布函数为：

$P\{ p_1,...,p_n;\alpha_1,...\alpha_n \} = \frac{1}{B(\alpha)}\prod_{i=1}^{n}{p_i^{k_i-1}},\ where \ B(\alpha)= \frac{\prod_{i=1}^{n}{\Gamma(\alpha_i)}}{\Gamma(\sum_{i=1}^{n}{\alpha_i})}$

6. 后记

本篇博文只是将伯努利分布、二项分布、多项分布、贝塔分布和狄利克雷分布做了简单的介绍，其中涉及到大量的概率基础和高等数学的知识，文中的介绍只是粗浅的把这些分布的概念作了大概介绍，没有对这些分布的产生历史做介绍。我想，更好的介绍方式，应是从数学史的角度，将这几项分布的发现按照历史规律来展现，这样会更直观、形象。后续再补吧！

在机器学习领域中，概率模型是一个常用的利器。用它来对问题进行建模，有几点好处：1）当给定参数分布的假设空间后，可以通过很严格的数学推导，得到模型的似然分布，这样模型可以有很好的概率解释；2）可以利用现有的EM算法或者Variational method来学习。通常为了方便推导参数的后验分布，会假设参数的先验分布是似然的某个共轭分布，这样后验分布和先验分布具有相同的形式，这对于建模过程中的数学推导可以大大的简化，保证最后的形式是tractable。

在概率模型中，Dirichlet这个词出现的频率非常的高。初始机器学习的同学或者说得再广一些，在学习概率模型的时候，很多同学都不清楚为啥一个表现形式如此奇怪的分布Dirichlet分布会出现在我们的教科书中，它是靠啥关系攀上了多项分布（Multinomial distribution）这个亲戚的，以至于它可以“堂而皇之”地扼杀我大天朝这么多数学家和科学家梦想的？为了引出背后这层关系，我们需要先介绍一个概念——共轭先验（Conjugate Prior）。

Conjugate Prior: In Bayesian probability theory, if the posterior distributions p(θ|x) are in the same family as the prior probability distribution p(θ), the prior and posterior are then called conjugate distributions, and the prior is called a conjugate prior for the likelihood. ----from wiki
用中文来讲，在贝叶斯统计理论中，如果某个随机变量Θ的后验概率 p(θ|x)和气先验概率p(θ)属于同一个分布簇的，那么称p(θ|x)和p(θ)为共轭分布，同时，也称p(θ)为似然函数p(x|θ)的共轭先验。

介绍了这个重要的概念之后，我们回到文章的正题。首先需要弄清楚什么是二项分布（Binomial distribution）。这个概念是从伯努利分布推进的。伯努利分布是一个离散型的随机分布，其中的随机变量只有两类取值，非正即负{+，-}。二项分布即重复n次的伯努利试验，记为 X~b(n,p)。概率密度函数（概率质量函数）为 $P(K=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ 。再来看看Beta分布，给定参数 $\alpha>0$ 和 $\beta>0$ ，取值范围为[0,1]的随机变量x的概率密度函数 $f(x;\alpha,\beta)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}$ ，其中 $\frac{1}{B(\alpha,\beta)}=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}$ ， $\Gamma(z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$ 。这里假定，先验分布和似然概率如下所示：

$p(x)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}$

$p(y|x)=\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}$

那么很容易知道后验概率为

$p(x|y)=\frac{1}{B(\alpha+k,\beta+n-k)}x^{\alpha+k-1}(1-x)^{\beta+n-k-1}$

弄清楚了Beta分布和二项分布之间的关系后，对于接下来的Dirichlet 分布和多项分布（Multinomial distribution）的关系理解将会有非常大的帮助。多项分布，从字面上所表现出的含义，我们也大抵知道它的意思。它本身确实也是这样的，其单次试验中的随机变量的取值不再是0-1的，而是有多种离散值可能（1,2,3...,k），其中 $\sum_{i=1}^k{p_i}=1,p_i>0$ 。多项分布的概率密度函数为 $P(x_1,x_2,...,x_k;n,p_1,p_2,...,p_k)=\frac{n!}{x_1!\cdot\cdot\cdot x_k!}p_1^{x_1}\cdot\cdot\cdot p_k^{x_k}$ 。而Dirichlet分布的的密度函数形式也如出一辙： $f(x_1,x_2,...,x_k;\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k)=\frac{1}{B(\alpha)}\prod_{i=1}^k{x_i^{\alpha^i-1}}$ ，其中 $B(\alpha)=\frac{\prod_{i=1}^k\Gamma(\alpha^i)}{\Gamma(\sum_{i=1}^k{\alpha^i})},\sum{x_i}=1$ 。到这里，我们可以看到Beta分布和Dirichlet 分布有多相似啊，二项分布和多项分布有多相似啊！

再一次来看看共轭。假设 $x=(x_1,x_2,...,x_k)$ 有先验分布

$p(x;\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k)=\frac{1}{B(\alpha)}\prod_{i=1}^k{x_i^{\alpha^i-1}}$

，

另有似然函数

$p(y|x)=\frac{n!}{n_1!\cdot\cdot\cdot n_k!}x_1^{n_1}\cdot\cdot\cdot x_k^{n_k}，$

则后验概率

$p(x|y)=\frac{1}{Z}\prod_{i=1}^k{x_i^{\alpha^i+n_i-1}}$

，和Dirichlet 分布形式一致。

其实，细心的读者已经发现，这里这四类分布，如果但从数学形式上看，它们的组织形式都是一致的，都是通过乘积的形式构成，加上先验分布、似然函数和后言分布之间的乘积推导关系，可以很容易发现，它们所表现出的共轭性质很容易理解。

Beta分布与Dirichlet分布的定义域均为[0,1]，在实际使用中，通常将两者作为概率的分布，Beta分布描述的是单变量分布，Dirichlet分布描述的是多变量分布，因此，Beta分布可作为二项分布的先验概率，Dirichlet分布可作为多项分布的先验概率。这两个分布都用到了Gamma函数，所以，首先了解一下Gamma函数。

1. Gamma函数

首先看其表达式
Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdtΓ(x)=∫0∞tx−1e−tdt
这样的表达看懂都很难，更不知道那些数学家怎么想出来的。据LDA数学八卦中记录，在Gamma函数的发现中做出主要贡献的数学家有哥德巴赫、丹尼尔·伯努利(不是伯努利分布的那个伯努利)，最终由欧拉解决这个问题(这些大数学家互相都认识的啊)。
Gamma函数是对阶乘在实数领域的扩展，也就是说，Γ(x+1)=xΓ(x)Γ(x+1)=xΓ(x)，下面用分部积分的方法进行推导，如不关心，可以略过。

Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt=1x∫∞0e−tdtx=1x(e−ttx|∞0−∫∞0txde−t)=1x∫∞0txe−tdt=1xΓ(x+1)Γ(x)=∫0∞tx−1e−tdt=1x∫0∞e−tdtx=1x(e−ttx|0∞−∫0∞txde−t)=1x∫0∞txe−tdt=1xΓ(x+1)

据PRML第71页(2.14)式，Gamma函数在Beta分布和Dirichlet分布中起到了归一化的作用。

2. Beta分布

Beta分布描述的是定义在区间[0,1]上随机变量的概率分布，由两个参数α>0α>0和β>0β>0决定，通常记为μ∼Beta(μ|α,β)μ∼Beta(μ|α,β)，其概率密度函数如下
P(μ|α,β)=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)μα−1(1−μ)β−1=1B(α,β)μα−1(1−μ)β−1P(μ|α,β)=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)μα−1(1−μ)β−1=1B(α,β)μα−1(1−μ)β−1
其中，Γ(⋅)Γ(⋅)就是Gamma函数，B(α,β)B(α,β)为Beta函数，并且
B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)
Beta分布的概率密度函数曲线如下图：(摘自wikipedia Beta distribution)

由于Beta分布定义在区间[0,1]上，所以适合作为概率的分布。第一段提到Beta分布可作为二项分布的先验概率，那就需要从二项分布的定义来理解Beta分布的形式。已知二项分布的形式为：
p(x=k|n,μ)=Cknμk(1−μ)n−kp(x=k|n,μ)=Cnkμk(1−μ)n−k
对 μμ 进行后验概率估计时，其似然项是 μμ 和 (1−μ)(1−μ) 的指数形式，如果先验概率也选择为 μμ 和 (1−μ)(1−μ) 的指数形式，那么后验概率就仍然保持这种指数形式，这种性质叫做共轭分布，我们会在后面的文章中对共轭分布进行介绍。
因此，Beta分布就是 μμ 和 (1−μ)(1−μ) 的指数形式，其中Beta函数为归一化系数。Beta分布的均值和方差分别为
E[μ]=αα+βE[μ]=αα+β
var(μ)=αβ(α+β)2(α+β+1)var(μ)=αβ(α+β)2(α+β+1)

3. Dirichlet分布

Dirichlet分布是关于定义在区间[0,1]上的多个随机变量的联合概率分布，假设有dd个变量μiμi，并且∑di=1μi=1∑i=1dμi=1，记μ=(μ1,μ2,...,μd)μ=(μ1,μ2,...,μd)，每个μiμi对应一个参数αi>0αi>0，记α=(α1,α2,...,αd)α=(α1,α2,...,αd)，α^=∑di=1αiα^=∑i=1dαi，那么它的概率密度函数为
p(μ|α)=Dir(μ|α)=Γ(α^)Γ(α1)⋯Γ(αd)∏di=1μαi−1ip(μ|α)=Dir(μ|α)=Γ(α^)Γ(α1)⋯Γ(αd)∏i=1dμiαi−1
Dirichlet分布的每一个随机变量具有统计量如下：
E[μi]=αiα^E[μi]=αiα^
var(μi)=αi(α^−αi)α^2(α^+1)var(μi)=αi(α^−αi)α^2(α^+1)
cov(μi,μj)=αiαjα^2(α^+1)cov(μi,μj)=αiαjα^2(α^+1)
由于Dirichlet分布描述的是多个定义于区间[0,1]的随机变量的概率分布，所以通常将其用作多项分布参数μiμi的概率分布。

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