线性子空间和仿射子空间

2024-05-12 20:10:09

线性子空间（或向量子空间）在线性代数和相关的数学领域中是重要的。在没有混淆于其他子空间的时候通常简称为“子空间”。

设 K 是域(比如实数域)，并设 V 是在 K 上的向量空间。如同平常，我们称 V 的元素为向量并称 K 的元素为标量。假设 W 是 V 的子集。如果 W 自身是带有同 V 一样的向量空间运算的向量空间，则它是 V 的子空间。

仿射子空间是一种更一般的空间。对于向量空间V中的一个非空的子集S，如果满足下面的条件，它就被称为仿射子空间：

集合S = { u - v | u, v是S中的向量｝， S是V的一个线性子空间。

仿射空间的点是表示图形里点与点的距离，而向量空间的向量是表示点与点之间的位移和方向的。

四维的仿射空间是采用这样表示：（a, b, c, d)，其中d是表示常量1.

三维的仿射空间是采用这样表示：（a, b, d)，其中d是表示常量1.

仿射空间的点与向量表示形式相似，但它们之间不能进行互换。

对于水平面，我们采用x, y来表示，而垂直的轴采用h来表示，那么（x, y , h)就表示了一个仿射空间的平面，在此平面上所画的直线，都可以使用(x,y)所在的空间向量来表示，任何两个向量差都在这个平面里。如果把这个平面进行齐次化，就是把h等于1的点平面，化成齐次坐标（x/h, y/h, 1)。

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