矩阵理论| 基础：线性子空间（非平凡子空间）、空间分解、直和分解

前置：线性代数学习笔记3-5：秩1矩阵和矩阵作为“向量”构成的空间

线性子空间

空间 V \mathbf V V有子空间 V 1 \mathbf V_1 V1（一组基为 α 1 , α 2 , . . . , α k \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k α1,α2,...,αk）和子空间 V 2 \mathbf V_2 V2（一组基为 β 1 , β 2 , . . . , β l \beta_1,\beta_2,...,\beta_l β1,β2,...,βl），那么

子空间的和 V 1 + V 2 \mathbf V_1+\mathbf V_2 V1+V2也是 V \mathbf V V的子空间，维数 r < k + l r<k+l r<k+l

基的求法：
将两个子空间的基组合为矩阵 [ α 1 , . . . , α k , β 1 , . . . , β l ] \bold{[\alpha_1,...,\alpha_k,\beta_1,...,\beta_l]} [α1,...,αk,β1,...,βl]，那么该矩阵行初等变换后得到的 r r r个线性无关列就是 V 1 + V 2 \mathbf V_1+\mathbf V_2 V1+V2的 r r r个基向量

子空间的交 V 1 ∩ V 2 \mathbf V_1\cap \mathbf V_2 V1∩V2也是 V \mathbf V V的子空间，维数 k + l − r k+l-r k+l−r

基的求法：
V 1 ∩ V 2 \mathbf V_1\cap \mathbf V_2 V1∩V2中的向量，必须满足既能由 V 1 \mathbf V_1 V1的基表出，也能由 V 2 \mathbf V_2 V2的基表出，即满足方程 x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x k α k = y 1 β 1 + y 2 β 2 + . . . + y l β l x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_k\alpha_k=y_1\beta_1+y_2\beta_2+...+y_l\beta_l x1α1+x2α2+...+xkαk=y1β1+y2β2+...+ylβl
我们需要若干组系数 x 1 , . . . , x k x_1,...,x_k x1,...,xk（或 y 1 , . . . , y l y_1,...,y_l y1,...,yl）来表出 V 1 ∩ V 2 \mathbf V_1\cap \mathbf V_2 V1∩V2的基向量，因此问题转化为求解方程 [ α 1 , . . . , α k , β 1 , . . . , β l ] x = 0 \bold{[\alpha_1,...,\alpha_k,\beta_1,...,\beta_l]x=0} [α1,...,αk,β1,...,βl]x=0，方程有 k + l − r k+l-r k+l−r个无关的解，每个解对应的系数 x 1 , . . . , x k x_1,...,x_k x1,...,xk（或 y 1 , . . . , y l y_1,...,y_l y1,...,yl）给出了 V 1 ∩ V 2 \mathbf V_1\cap \mathbf V_2 V1∩V2的一个基

子空间的并 V 1 ∪ V 2 \mathbf V_1\cup \mathbf V_2 V1∪V2一般不是 V \mathbf V V的子空间（不满足空间的加法封闭性）

非平凡子空间

对于任何空间而言，无需任何额外信息，即可知道他的两个子空间：{0}和整个空间本身

这两个子空间称为“平凡子空间”，除此以外的子空间都是“非平凡子空间”（必然是不满秩的子空间）

空间分解

整个空间可以分解为两个子空间 V 1 \mathbf V_1 V1和 V 2 \mathbf V_2 V2，且两个子空间相加得到整个原空间
空间分解的本质，就是对基的分解
并且，一般的空间分解满足， V 1 + V 2 \mathbf V_1+\mathbf V_2 V1+V2的基 = V 1 \mathbf{V_1} V1的基+ V 2 \mathbf{V_2} V2的基- V 1 ∩ V 2 \mathbf{V_1} \cap \mathbf{V_2} V1∩V2这个交集的基
由上，进一步有 d i m ( V 1 + V 2 ) = d i m V 1 + d i m V 2 − d i m ( V 1 ∩ V 2 ) dim(\mathbf V_1+\mathbf V_2)=dim\mathbf V_1+dim\mathbf V_2-dim(\mathbf{V_1} \cap \mathbf{V_2}) dim(V1+V2)=dimV1+dimV2−dim(V1∩V2)

特殊的空间分解：直和分解

上面的情况，空间分解后，两个子空间有公共的基向量；
我们也可以分解使得 V 1 \mathbf V_1 V1和 V 2 \mathbf V_2 V2没有有公共的基向量，这就是直和分解
或者说，普通的空间分解和直和分解，都是分解空间的基底，区别是直和分解完全解耦、分解出两组基

可见，直和分解，就是将原空间的基分为两组、分别张成两个自空间（没有公共的基）

进而，N维空间，可以不断分解为N个一维子空间的和

空间中的任意向量，可以表示为子空间 V 1 \mathbf V_1 V1中向量和子空间 V 2 \mathbf V_2 V2中向量的叠加，如果这种表示是唯一的，称为直和分解

如图，左侧做空间分解后，空间中任意向量的表示是唯一的，这是直和分解；
右侧则不是直和分解，因为 V 1 \mathbf V_1 V1和 V 2 \mathbf V_2 V2有公共的基（ S ∩ U ≠ { 0 } \mathbf{S} \cap \mathbf{U}\neq \{0\} S∩U={0}），从而导致了任意向量的表示不唯一（可以 V 1 \mathbf V_1 V1多贡献一些分量，也可以 V 2 \mathbf V_2 V2多贡献）
直和分解的判定:

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