雅可比(Jacobi)矩阵与行列式

函数矩阵与行列式（雅可比(Jacobi)矩阵与行列式）

1.雅可比矩阵与行列式的定义

设由m个n元函数组成的函数组：

y_i=f_i(x₁,x₂,...,x_n) (i=1,2,...,m)

如果每一存在，则称m╳n矩阵

为函数组的雅可比矩阵，或称为函数矩阵，记为或

设由n个n元函数组成的函数组：

y_i=f_i(x₁,x₂,...,x_n) (i=1,2,...,n)

如果所有一阶偏导数存在，则它的雅可比矩阵的行列式：

称为函数组的雅可比行列式，或称为函数行列式，记为或.

2.雅可比行列式的性质

雅可比行列式有与普通导数相似的一系列性质.

设在区域D Rⁿ中有函数组：y_i=f_i(x,x,...,x_n) i=1,2,...,n (1)₂₁

在区域PRⁿ中又有函数组：x_i=φ_i(t₁,t₂,...,t_n) i=1,2,...,n (2)

且当点(t₁,t₂,...,t_n)在P中变动时，对应的点(x₁,x₂,...,x_n)不越出区域D.于是有复合函数组：

y_i=f_i(φ₁(t₁,t₂,...,t_n),φ₂(t₁,t₂,...,t_n),...,φ_n(t₁,t₂,...,t_n)) (3)

则函数组（1），（2），（3）之间的雅可比行列式有以下关系：

这个性质是一元复合函数求导法则的推广:

特别，如果在（2）式中令t_i=y_i（i=1,2,...,n），则由（3）式

它是一元函数的反函数微分法则

的推广.

设由以下两个函数组:

y_i=f_i(x₁,x₂,...,x_n) i=1,2,...,m

x_j=φ_j(t₁,t₂,...,t_m) j=1,2,...,n (m<n)

确定复合函数：

y_i=f_i(φ₁(t₁,t₂,...,t_m),φ₂(t₁,t₂,...,t_m),...,φ_n(t₁,t₂,...,t_m))

则雅可比行列式（假设所有一阶偏导数存在且连续）:

式中(i₁,i₂,...,i_m)表示每个i_j取1,2,...,n中的一个标号，和号是对所有可能的(i₁,i₂,...,i_m)相加.

当m=1时，上面公式就是普通的复合函数求导公式：

设有2n个变量n个方程组成的方程组

F_i(x₁,x₂,...,x_n;y₁,y₂,...,y_n)=0 ( i=1,2,...,n )

若，

将y₁,y₂,...,y_n看成是由此方程组确定的x₁,x₂,...,x_n的函数，则

这个公式是由F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)的求导公式：

的推广.

雅可比行列式可作为坐标变换时面积（体积）元素的伸缩系数.

(1)设u_i=u_i(x₁,x₂,...,x_n) ( i=1,2,...,n )

是从(x₁,x₂,...,x_n)到(u₁,u₂,...,u_n)的坐标变换，

（假设所出现的偏导数在某一区域上都存在且连续），那么有

(2)在R²中，设u=u(x,y)，v=v(x,y)，则

特别，在平面直角坐标系与极坐标系的变换中，x=rcosφ，y=rsinφ，则

(3)在R³中，设u=u(x,y,z)，v=v(x,y,z)，w=w(x,y,z)，则

特别，在直角坐标系与球面坐标系的变换中

x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=r cosθ.

在直角坐标系与圆柱坐标系变换中

x=rcosφ，y=rsinφ，z=z .

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