线性代数 —— 矩阵的行列式

1.行列式

排成 n 阶方阵形式的 n^2 个数所确定的一个数称为 n 阶方阵 A 的行列式，记为：det(A) 或 |A|

一个 2x2 的矩阵的行列式可表示为：

2.余子式与代数余子式

将 n 阶行列式中元素的第 i 行和第 j 列划去后，留下的 n-1 阶行列式称为的余子式 ，记作：

将的余子式与 -1 的 i+j 的幂的乘积称为代数余子式，记作：

一个 n 阶方阵的行列式等于任意行/列的元素与对应的代数余子式乘积之和，即：

4.主子式与顺序主子式

在 n 阶行列式中，选取 k 个行号，再选取与行号相同的 k 个列号，则有行列均为 k 个的行列式即为 n 阶行列式的 k 阶主子式，简单来说，即在 n 阶行列式中，选取的 k 个行列号相同的行、列的交汇处的元素组成的行列式

在 k 阶行列式中，由 1~k 行和 1~k 列组成的子式，即为 n 阶行列式的 k 阶顺序主子式

5.行列式的性质

互换矩阵的两行(列)，行列式变号
如果矩阵有两行(列)完全相同，则行列式为 0
如果矩阵的某一行(列)中的所有元素都乘以同一个数 k，新行列式的值等于原行列式的值乘上数 k
推论：如果矩阵的某一行(列)中的所有元素都有一个公因子 k，则可以把这个公因子 k 提到行列式求和式的外面
如果矩阵有两行(列)成比例(比例系数k)，则行列式的值为 0
如果把矩阵的某一行(列)加上另一行(列)的 k 倍，则行列式的值不变

6.主子式的值

对于一个主子式的值，可以根据其定义算出： $det(A)=\sum_p((-1)^{\tau (P)}*A_{1,p1}*A_{2,p2}*...*A_{n,pn})$

其中 P 为 1~n 的一个排列，τ(P) 为排列 P 的逆序对数，求和式的每一项可以看做在矩阵中选出 n 个数，使得他们的行列都不重合，显然，求和式共 n！项，根据定义求值的时间复杂度是 O(n!) 阶的，因此必须根据行列式的性质进行优化。

由于对于任意一个上(下)三角矩阵，其行列式的值为对角线的乘积。

因此可根据性质 5，可采用高斯消元的方法，将矩阵消为一个上三角矩阵后，求出对角线的积，即为该矩阵的行列式的值，时间复杂度为 O(n^3)

如果要求的矩阵不允许出现实数，且需要取模，那么采用辗转相除的高斯消元法，时间复杂度多出一个 O(logN)

int f[N][N];//n阶矩阵
int gauss(int n){//主子式的值int res=1;for(int i=1;i<=n-1;i++){//枚举主对角线上第i个元素for(j=i+1;j<=n-1;j++){//枚举剩下的行while(f[j][i]){//辗转相除t= f[i][i]/f[j][i];for(int k=i;k<=n-1;k++)//转为倒三角f[i][k]=(f[i][k]-t*f[j][k]+MOD)%MOD;swap(f[i],f[j]);//交换i、j两行res=-res;}}res=(res*f[i][i])%MOD;}return (res+MOD)%MOD;
}