[学习SLAM]两平面法向量与旋转向量/旋转矩阵,根据两平面法向量进行旋转
根据旋转前后的向量值求旋转矩阵
如果已知旋转前后的一向量的变化,那么该如何求这个旋转矩阵呢?本篇结合Rodrigues' rotation formula,介绍一下该旋转矩阵的求法。
1.旋转角度
已知旋转前向量为P, 旋转后变为Q。由点积定义可知:
可推出P,Q之间的夹角为:
2. 旋转轴
由1中可知,旋转角所在的平面为有P和Q所构成的平面,那么旋转轴必垂直该平面。
假定旋转前向量为a(a1, a2, a3), 旋转后向量为b(b1, b2, b3)。由叉乘定义得:
所以旋转轴c(c1, c2, c3)为:
3. 罗德里格旋转公式(Rodrigues' rotation formula)
3.1 公式
已知单位向量 , 将它旋转θ角。由罗德里格旋转公式,可知对应的旋转矩阵 :
其中I是3x3的单位矩阵,
是叉乘中的反对称矩阵r:
3.2 公式证明
假设在坐标系(x, y, z)中,向量v=ax+by+cz,v绕z轴逆时针旋转θ角后得到新的向量v’。
根据2维(x,y)面上的旋转公式可得:
推出:
已知:
将上式带入v’的公式:
将cz替换掉,可得:
将上式中的叉乘表示为反对称矩阵得:
另外:
最终可以推出:
上式即为罗德里格旋转公式。
4. 求旋转矩阵
假设(旋转轴)的向量n=(nx, ny, nz);
I是单位矩阵,A是向量n的反对称矩阵,即
而θ旋转角度
最后求出的旋转矩阵如下
通过旋转矩阵可以求出(向量a)绕(旋转轴)旋转(角度θ)得到的(向量b)
设3X3的(旋转矩阵)为R
v' = Rv
根据旋转前后的两个向量值,使用上面的方法,先求出旋转角度和旋转轴,然后用罗德里格旋转公式即可求出对应的旋转矩阵。
C#的实现代码如下:
void Calculation(double[] vectorBefore, double[] vectorAfter)
{double[] rotationAxis;double rotationAngle;double[,] rotationMatrix;rotationAxis = CrossProduct(vectorBefore, vectorAfter);rotationAngle = Math.Acos(DotProduct(vectorBefore, vectorAfter) / Normalize(vectorBefore) / Normalize(vectorAfter));rotationMatrix = RotationMatrix(rotationAngle, rotationAxis);
}double[] CrossProduct(double[] a, double[] b)
{double[] c = new double[3];c[0] = a[1] * b[2] - a[2] * b[1];c[1] = a[2] * b[0] - a[0] * b[2];c[2] = a[0] * b[1] - a[1] * b[0];return c;
}double DotProduct(double[] a, double[] b)
{double result;result = a[0] * b[0] + a[1] * b[1] + a[2] * b[2];return result;
}double Normalize(double[] v)
{double result;result = Math.Sqrt(v[0] * v[0] + v[1] * v[1] + v[2] * v[2]);return result;
}double[,] RotationMatrix(double angle, double[] u)
{double norm = Normalize(u);double[,] rotatinMatrix = new double[3,3];u[0] = u[0] / norm;u[1] = u[1] / norm;u[2] = u[2] / norm;rotatinMatrix[0, 0] = Math.Cos(angle) + u[0] * u[0] * (1 - Math.Cos(angle));rotatinMatrix[0, 1] = u[0] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle) - u[2] * Math.Sin(angle));rotatinMatrix[0, 2] = u[1] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));rotatinMatrix[1, 0] = u[2] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle));rotatinMatrix[1, 1] = Math.Cos(angle) + u[1] * u[1] * (1 - Math.Cos(angle));rotatinMatrix[1, 2] = -u[0] * Math.Sin(angle) + u[1] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));rotatinMatrix[2, 0] = -u[1] * Math.Sin(angle) + u[0] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));rotatinMatrix[2, 1] = u[0] * Math.Sin(angle) + u[1] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));rotatinMatrix[2, 1] = Math.Cos(angle) + u[2] * u[2] * (1 - Math.Cos(angle));return rotatinMatrix;
}
https://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/02/15/2912836.html
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