高斯混合模型 GMM 的详细解释

高斯混合模型（后面本文中将使用他的缩写 GMM）听起来很复杂，其实他的工作原理和 KMeans 非常相似，你甚至可以认为它是 KMeans 的概率版本。这种概率特征使 GMM 可以应用于 KMeans 无法解决的许多复杂问题。

因为KMeans的限制很多，比如：它假设簇是球形的并且大小相同，这在大多数现实世界的场景中是无效的。并且它是硬聚类方法，这意味着每个数据点都分配给一个集群，这也是不现实的。

在本文中，我们将根据上面的内容来介绍 KMeans 的一个替代方案之一，高斯混合模型。

从概念上解释：高斯混合模型就是用高斯概率密度函数（正态分布曲线）精确地量化事物，它是一个将事物分解为若干的基于高斯概率密度函数（正态分布曲线）形成的模型。

高斯混合模型 (GMM) 算法的工作原理

正如前面提到的，可以将 GMM 称为概率的KMeans，这是因为 KMeans 和 GMM 的起点和训练过程是相同的。但是，KMeans 使用基于距离的方法，而 GMM 使用概率方法。 GMM 中有一个主要假设：数据集由多个高斯分布组成，换句话说，GMM 模型可以看作是由 K 个单高斯模型组合而成的模型,这 K 个子模型是混合模型的隐变量(Hidden variable)

上述分布通常称为多模型分布。每个峰代表我们数据集中不同的高斯分布或聚类。我们肉眼可以看到这些分布，但是使用公式如何估计这些分布呢？

在解释这个问题之前，我们先创建一些高斯分布。这里我们生成的是多元正态分布；它是单变量正态分布的更高维扩展。

让我们定义数据点的均值和协方差。使用均值和协方差，我们可以生成如下分布。

 # Set the mean and covariancemean1= [0, 0]mean2= [2, 0]cov1= [[1, .7], [.7, 1]]cov2= [[.5, .4], [.4, .5]]# Generate data from the mean and covariancedata1=np.random.multivariate_normal(mean1, cov1, size=1000)data2=np.random.multivariate_normal(mean2, cov2, size=1000)

可视化一下生成的数据

 plt.figure(figsize=(10,6))plt.scatter(data1[:,0],data1[:,1])plt.scatter(data2[:,0],data2[:,1])sns.kdeplot(data1[:, 0], data1[:, 1], levels=20, linewidth=10, color='k', alpha=0.2)sns.kdeplot(data2[:, 0], data2[:, 1], levels=20, linewidth=10, color='k', alpha=0.2)plt.grid(False)plt.show()

我们上面所做的工作是：使用均值和协方差矩阵生成了随机高斯分布。而 GMM 要做正好与这个相反，也就是找到一个分布的均值和协方差，那么怎么做呢？

工作过程大致如下：

为给定的数据集确定聚类的数量（这里我们可以使用领域知识或其他方法，例如 BIC/AIC）。根据我们上面的参数，有 1000 个数据点，和两个簇2。

初始化每个簇的均值、协方差和权重参数。

使用期望最大化算法执行以下操作：

期望步骤（E-step）：计算每个数据点属于每个分布的概率，然后使用参数的当前估计评估似然函数
最大化步骤（M-step）：更新之前的均值、协方差和权重参数，这样最大化E步骤中找到的预期似然
重复这些步骤，直到模型收敛。

以上是GMM 算法的非数学的通俗化的解释。

GMM 数学原理

有了上面的通俗解释，我们开始进入正题，上面的解释可以看到GMM 的核心在于上一节中描述的期望最大化 (EM) 算法。

在解释之前，我们先演示一下 EM 算法在 GMM 中的应用。

1、初始化均值、协方差和权重参数

mean (μ): 随机初始化
协方差 (Σ)：随机初始化
权重（混合系数）(π)：每个类的分数是指特定数据点属于每个类的可能性。一开始，这对所有簇都是平等的。假设我们用三个分量拟合 GMM，那么每个组件的权重参数可能设置为 1/3，这样概率分布为 (1/3, 1/3, 1/3)。

2、期望步骤（E-step）

对于每个数据点