博客转载自：https://blog.csdn.net/kongbu0622/article/details/1871520

据 Drew 所知最短路经算法现在重要的应用有计算机网络路由算法，机器人探路，交通路线导航，人工智能，游戏设计等等。美国火星探测器核心的寻路算法就是采用的D*(D Star)算法。最短路经计算分静态最短路计算和动态最短路计算。静态路径最短路径算法是外界环境不变，计算最短路径。主要有Dijkstra算法，A*(A Star)算法。 动态路径最短路是外界环境不断发生变化，即不能计算预测的情况下计算最短路。如在游戏中敌人或障碍物不断移动的情况下。典型的有D*算法。

这是Drew程序实现的10000个节点的随机路网三条互不相交最短路

真实路网计算K条路径示例：节点5696到节点3006，三条最快速路，可以看出路径基本上走环线或主干路。黑线为第一条，兰线为第二条，红线为第三条。约束条件系数为1.2。共享部分路段。 显示计算部分完全由Drew自己开发的程序完成。

Dijkstra算法求最短路径

Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表方式，Drew为了和下面要介绍的 A* 算法和 D* 算法表述一致，这里均采用OPEN,CLOSE表的方式。

大概过程：

创建两个表，OPEN, CLOSE。OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。

1． 访问路网中里起始点最近且没有被检查过的点，把这个点放入OPEN组中等待检查。

2． 从OPEN表中找出距起始点最近的点，找出这个点的所有子节点，把这个点放到CLOSE表中。

3． 遍历考察这个点的子节点。求出这些子节点距起始点的距离值，放子节点到OPEN表中。

4． 重复2，3，步。直到OPEN表为空，或找到目标点。

这是在drew 程序中4000个节点的随机路网上Dijkstra算法搜索最短路的演示，黑色圆圈表示经过遍历计算过的点由图中可以看到Dijkstra算法从起始点开始向周围层层计算扩展，在计算大量节点后，到达目标点。所以速度慢效率低。提高Dijkstra搜索速度的方法很多，据Drew所知，常用的有数据结构采用Binary heap的方法，和用Dijkstra从起始点和终点同时搜索的方法。

A*算法 -- 启发式(heuristic)算法

A*(A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路最有效的方法。公式表示为：

f(n)=g(n)+h(n)

其中f(n) 是节点n从初始点到目标点的估价函数，g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。保证找到最短路径(最优解的)条件，关键在于估价函数h(n)的选取：估价值h(n) <= n到目标节点的距离实际值，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。如果 估价值 > 实际值, 搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。估价值与实际值越接近，估价函数取得就越好。

例如对于几何路网来说，可以取两节点间欧几理德距离(直线距离)做为估价值，即f=g(n)+sqrt((dx-nx)*(dx-nx)+(dy-ny)*(dy-ny))；这样估价函数f在g值一定的情况下，会或多或少的受估价值h的制约，节点距目标点近，h值小，f值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的方向进行。明显优于Dijstra算法的毫无无方向的向四周搜索。

主要搜索过程：

创建两个表，OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。遍历当前节点的各个节点，将n节点放入CLOSE中，取n节点的子节点X并算X的估价值。

While(OPEN != NULL)

{

从OPEN表中取估价值f最小的节点n;

if(n节点 == 目标节点)

break;

else

{

if(X in OPEN) 比较两个X的估价值f //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值

if( X的估价值小于OPEN表的估价值 )

更新OPEN表中的估价值; //取最小路径的估价值

if(X in CLOSE) 比较两个X的估价值 //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值

if( X的估价值小于CLOSE表的估价值 )

更新CLOSE表中的估价值; 把X节点放入OPEN //取最小路径的估价值

if(X not in both)

求X的估价值;

并将X插入OPEN表中;　//还没有排序

}

将n节点插入CLOSE表中;

按照估价值将OPEN表中的节点排序; //实际上是比较OPEN表内节点f的大小，从最小路径的节点向下进行。

}

上图是和上面Dijkstra算法使用同一个路网，相同的起点终点，用A*算法的情况，计算的点数从起始点逐渐向目标点方向扩展，计算的节点数量明显比Dijkstra少得多，效率很高，且能得到最优解。A*算法和Dijistra算法的区别在于有无估价值，Dijistra算法相当于A*算法中估价值为0的情况。

需要注意的是Sunway上面文章“深入A*算法”中引用了一个A*的游戏程序进行讲解，并有这个源码的下载，不过它有一个不小的Bug, 就是新的子节点放入OPEN表中进行了排序，而当子节点在Open表和Closed表中时，重新计算估价值后，没有重新的对Open表中的节点排序，这个问题会导致计算有时得不到最优解，另外在路网权重悬殊很大时，搜索范围不但超过Dijkstra，甚至搜索全部路网, 使效率大大降低。Drew 对这个问题进行了如下修正，当子节点在Open表和Closed表中时，重新计算估价值后，删除OPEN表中的老的节点，将有新估价值的节点插入OPEN表中，重新排序，经测试效果良好，修改的代码如下，红色部分为Drew添加的代码.添加进程序的相应部分即可。

在函数GenerateSucc()中 ...................................

g=BestNode->g+1; /* g(Successor)=g(BestNode)+cost of getting from BestNode to Successor */

TileNumS=TileNum((int)x,(int)y); /* identification purposes */

if ((Old=CheckOPEN(TileNumS)) != NULL)

{

for(c=0;c<8;c++)

if(BestNode->Child[c] == NULL) /* Add Old to the list of BestNode‘s Children (or Successors). */

break;

BestNode->Child[c]=Old;

if (g < Old->g)

{

Old->Parent=BestNode;

Old->g=g;

Old->f=g+Old->h;

//Drew 在该处添加如下红色代码

//Implement by Drew

NODE *q,*p=OPEN->NextNode, *temp=OPEN->NextNode;

while(p!=NULL && p->NodeNum != Old->NodeNum)

{

q=p;

p=p->NextNode;

}

if(p->NodeNum == Old->NodeNum)

{

if(p==OPEN->NextNode)

{

temp = temp->NextNode;

OPEN ->NextNode = temp;

}

else

q->NextNode = p->NextNode;

}

Insert(Old); // Insert Successor on OPEN list wrt f

}

......................................................

A*(A Star)算法与D算法的转换

这种算法可以不直接用估价值，直接用Dijkstra算法程序实现A*算法，Drew对它进行了测试，达到和A*完全一样的计算效果，且非常简单。以邻接矩阵为例，更改原来邻接矩阵i行j列元素Dij为 Dij+Djq-Diq; 起始点到目标点的方向i->j, 终点q. Dij为(i到j路段的权重或距离)其中：Djq,Diq的作用相当于估价值 Djq=(j到q的直线距离)；Diq=(i到q的直线距离)原理：i 到q方向符合Dij+Djq > Diq ，取Dij+Djq-Diq 小，如果是相反方向Dij+Djq-Diq会很大。因此达到向目标方向寻路的作用。

动态路网 -- 最短路径算法 D*

A* 在静态路网中非常有效(very efficient for static worlds)，但不适于在动态路网，环境如权重等不断变化的动态环境下。 D*是动态A*(D-Star,Dynamic A Star) 卡内及梅隆机器人中心的Stentz在1994和1995年两篇文章提出，主要用于机器人探路。是火星探测器采用的寻路算法，见附录1，2.

主要方法(这些完全是Drew在读了上述资料和编制程序中的个人理解，不能保证完全正确，仅供参考)

1.先用Dijstra算法从目标节点G向起始节点搜索。储存路网中目标点到各个节点的最短路和该位置到目标点的实际值h,k(k为所有变化h之中最小的值,当前为k=h。每个节点包含上一节点到目标点的最短路信息1(2),2(5),5(4)，4(7)。则1到4的最短路为1-2-5-4。

原OPEN和CLOSE中节点信息保存。

2.机器人沿最短路开始移动，在移动的下一节点没有变化时，无需计算，利用上一步Dijstra计算出的最短路信息从出发点向后追述即可，当在Y点探测到下一节点X状态发生改变，如堵塞。机器人首先调整自己在当前位置Y到目标点G的实际值h(Y)，h(Y)=X到Y的新权值c(X,Y)+X的原实际值h(X).X为下一节点(到目标点方向Y->X->G)，Y是当前点。k值取h值变化前后的最小。

3.用A*或其它算法计算，这里假设用A*算法,遍历Y的子节点，点放入CLOSE,调整Y的子节点a的h值，h(a)=h(Y)+Y到子节点a的权重C(Y,a),比较a点是否存在于OPEN和CLOSE中，方法如下：

while()

{

从OPEN表中取k值最小的节点Y;

遍历Y的子节点a,计算a的h值 h(a)=h(Y)+Y到子节点a的权重C(Y,a)

{

if(a in OPEN) 比较两个a的h值

if( a的h值小于OPEN表a的h值 )

{

更新OPEN表中a的h值;k值取最小的h值

有未受影响的最短路经存在

break;

}

if(a in CLOSE) 比较两个a的h值 //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值

if( a的h值小于CLOSE表的h值 )

{

更新CLOSE表中a的h值; k值取最小的h值;将a节点放入OPEN表

有未受影响的最短路经存在

break;

}

if(a not in both)

将a插入OPEN表中;　//还没有排序

}

放Y到CLOSE表；

OPEN表比较k值大小进行排序；

}

机器人利用第一步Dijstra计算出的最短路信息从a点到目标点的最短路经进行。

D*算法在动态环境中寻路非常有效，向目标点移动中，只检查最短路径上下一节点或临近节点的变化情况，如机器人寻路等情况。对于距离远的最短路径上发生的变化，则感觉不太适用。

上图是Drew在4000个节点的随机路网上做的分析演示，细黑线为第一次计算出的最短路，红点部分为路径上发生变化的堵塞点，当机器人位于982点时，检测到前面发生路段堵塞，在该点重新根据新的信息计算路径，可以看到圆圈点为重新计算遍历过的点，仅仅计算了很少得点就找到了最短路，说明计算非常有效，迅速。绿线为计算出的绕开堵塞部分的新的最短路径。

附录