回溯法简单应用--解数独

简单介绍

数独是当下较为流行的数学游戏之一。通常数独由9x9的格子构成，其中将9x9的格子分为9个3x3的区域，称为“宫”（通常宫与宫之间会用较粗的线来分隔）。游戏的目标则是在格子中填满1~9的数字，并且使得数字之间满足一定的约束条件。

对于标准数独，其约数条件如下：

在9x9的格子下，每行，每列不得有重复的数字
每个宫内不得有重复的数字

除了标准数独，还有一系列的升级版本，例如连续数独，对角线数独，窗口数独，杀手数独等等。这里暂时只讨论标准数独的回溯解法。

对于同一个数独题目，存在着有多种解，也可能只有一种解。已知信息和解的数量通常也可以来衡量一个数独题目的难易程度，通常容易的数独给出的已知信息很多，又或者可能拥有很多个解。困难的数独则是给出的已知信息少，而最终解可能只有一个。

下面是关于最简单的破解数独的算法之一 —— 回溯法。回溯法采用深度优先搜索的思想，是常用的一种算法。关于回溯法的经典例子也很多，例如找生成树，0-1背包问题，8皇后问题，走迷宫，全排列问题等等。本文要说的解数独也可以采用回溯法。

本文采用的解数独思想就是最简单的一个个格子去试探，直到试探到把格子填满，既可以检查答案，如果符合则输出。根据这个思想和回溯法的一般步骤，可以得出解数独算法的步骤，此外，这里采用递归的形式。

回溯步骤一问题的解空间

对于一个数独，每个格子都去试探实际上是一种暴力破解的思想，对于9x9的格子，每个格子可填1~9，如果不做任何限制，问题的解空间树将会是一棵九叉树，这样的搜索空间大小是非常可怕的。

回溯步骤二确定搜索规则

在讨论解空间后，显然应该意识到，必须确定解空间树的拓展条件来抑制解空间树的指数增长。对于数独来说，搜索规则正好就是数独填数字的规则。对于一个待填格子，选是1~9，在1~9之中，同行同列同宫都出现过的数字就不必让其子节点生成了，从该节点开始，不符合数独规则的搜索结果最终必然不是数独的解。

回溯步骤三剪枝

搜索规则实质上就是一个剪枝函数，通过剪枝函数提前剔除不可能的解，能够有效地控制解空间树的增长，并且随着搜索的推进，解空间树的增长会越来越缓慢。想象一下当你快要将数独填满的时候，剩下的格子的选择必然是越来越少，甚至能够直接确定某格子只有一个可行的数字。

伪代码描述

backTracking(int index){if(index == 81){格子已经填满，输出结果}//x,y表示格子的坐标x <-- index % 9;y <-- index / 9;if(grid(x, y)的数字为题目的信息){backTracking(index+1);  //题目给出的数字是确定的，没必要搜索}for(i=1; i<=9 ;i++){   if(isLegal(x, y, i)){ //逐个数字试探其合法性grid(x, y) = i;backTracking(index+1);grid(x, y) = 0;}}
}

Java代码

import java.util.Scanner;public class Sudoku {private static int WIDTH = 3;private static int arr[][] = new int[WIDTH * WIDTH][WIDTH * WIDTH];private static boolean q[][] = new boolean[WIDTH * WIDTH][WIDTH * WIDTH];public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int val;for (int i = 0; i < 9; i++) {for (int j = 0; j < 9; j++) {val = scanner.nextInt();if (val != 0)generateQuestion(i, j, val);}}for (int i = 1; i < WIDTH * WIDTH; i++) {fill(0, i);}}private static void fill(int index, int val) {int mWidth = WIDTH * WIDTH;if (index == mWidth * mWidth) {if (!nullCheck()) {printM();
//                System.exit(0);}return;}int x = index % (mWidth);int y = index / (mWidth);if (q[y][x]) {fill(index + 1, val);} else {if (isLegalPos(x, y, val)) {arr[y][x] = val;if (index + 1 == mWidth * mWidth) {fill(index + 1, 1);} elsefor (int i = 1; i <= mWidth; i++) {fill(index + 1, i);}arr[y][x] = 0;}}}private static boolean nullCheck() {for (int j = 0; j < WIDTH; j++)for (int i = 0; i < WIDTH; i++) {if (arr[j][i] == 0)return true;}return false;}private static boolean isLegalPos(int x, int y, int val) {for (int i = 0; i < WIDTH * WIDTH; i++) {if (x != i && arr[y][i] == val)return false;if (y != i && arr[i][x] == val)return false;}int offsetX = (x / WIDTH) * WIDTH;int offsetY = (y / WIDTH) * WIDTH;for (int i = offsetX; i < offsetX + WIDTH; i++)for (int j = offsetY; j < offsetY + WIDTH; j++) {if (!(y == j && x == i) && arr[j][i] == val)return false;}return true;}private static void printM() {int k = WIDTH * WIDTH;for (int i = 0; i < k; i++) {for (int j = 0; j < k - 1; j++) {System.out.printf("%d ", arr[i][j]);}System.out.println(arr[i][k-1]);}}private static void generateQuestion(int y, int x, int val) {arr[y][x] = val;q[y][x] = true;}
}

样例测试（0表示待填）

输入1
8 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 3 6 0 0 0 0 0
0 7 0 0 9 0 2 0 0
0 5 0 0 0 7 0 0 0
0 0 0 0 4 5 7 0 0
0 0 0 1 0 0 0 3 0
0 0 1 0 0 0 0 6 8
0 0 8 5 0 0 0 1 0
0 9 0 0 0 0 4 0 0

输出1
8 1 2 7 5 3 6 4 9
9 4 3 6 8 2 1 7 5
6 7 5 4 9 1 2 8 3
1 5 4 2 3 7 8 9 6
3 6 9 8 4 5 7 2 1
2 8 7 1 6 9 5 3 4
5 2 1 9 7 4 3 6 8
4 3 8 5 2 6 9 1 7
7 9 6 3 1 8 4 5 2

输入2
0 0 3 0 1 9 0 0 0
9 0 0 8 0 0 0 0 0
0 1 0 6 2 0 0 0 9
0 8 0 0 0 0 0 4 1
5 2 6 0 0 0 9 8 7
4 9 0 0 0 0 0 6 0
6 0 0 0 8 3 0 9 0
0 0 0 0 0 2 0 0 3
0 0 0 4 6 0 8 0 0

输出2
2 6 3 5 1 9 4 7 8
9 7 5 8 3 4 1 2 6
8 1 4 6 2 7 5 3 9
3 8 7 9 5 6 2 4 1
5 2 6 3 4 1 9 8 7
4 9 1 2 7 8 3 6 5
6 5 2 1 8 3 7 9 4
1 4 8 7 9 2 6 5 3
7 3 9 4 6 5 8 1 2