Codeforces Round #715 (Div. 1) C. Complete the MST 补图 + 思维 + 最小生成树
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- 题意：
- 思路
题意：
给你一张nnn个点mmm个边的图，mmm条边是给定的，要求你给未给定的边赋值一个边权，使得所有边权异或和为000，求所有满足这种情况的图中最小生成树边权和最小的，输出最小生成树的边权和。
思路
我们先假设多余的边边权都为000，已经有的边的异或和为sumxorsum_{xor}sumxor，加上多余的边跑最小生成树后如果还有多余的边不在生成树中，那么答案显然为当前MSTMSTMST的权值，因为我们可以选一条不在MSTMSTMST中的边让他的权值为sumxorsum_{xor}sumxor。否则多余的边都在生成树里，那么一个最优的情况一定是选出一条多余的边使其边权为sumxorsum_{xor}sumxor，其他的边权为000。
那么我们拿出来多余的边，即原图的补图，找到补图中所有的联通块，之后再用本来就有的边将联通块联通，当前的答案为ansansans，现在我们需要判断一下是否有多余的边剩下，这个可以算一下rest=n∗(n−1)2−mrest=\frac{n*(n-1)}{2}-mrest=2n∗(n−1)−m，让后每加一条边就让rest−−rest--rest−−，最后看看是否rest>0rest>0rest>0即可，如果剩下了直接输出ansansans，否则我们需要找到一条多余的边使其边权为sumxorsum_{xor}sumxor，我们可以枚举原图的边，来判断一下能否用原图中的边替代来让答案边的更小，注意我们上面连接补图的联通块的边不能被替代。
// Problem: C. Complete the MST
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #715 (Div. 1)
// URL: https://codeforces.com/problemset/problem/1508/C
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 3000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
//#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
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#include<cstring>
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#include<cctype>
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#include<ctime>
#include<cstdlib>
#define X first
#define Y second
#define L (u<<1)
#define R (u<<1|1)
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define Mid (tr[u].l+tr[u].r>>1)
#define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1)
#define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1))
#define db puts("---")
using namespace std;//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); }
//void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); }
//void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;const int N=1000010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-6;int n,m;
int p[N];
LL rest,xr;
bool st[N];
set<int>v[N],all;
struct Node {int a,b,w,flag; bool operator < (const Node &W) const {return w<W.w;}
}edge[N];int find(int x) {return x==p[x]? x:p[x]=find(p[x]);
}void get_block() {queue<int>q;vector<int>now;for(int i=1;i<=n;i++) {if(!st[i]) {q.push(i); st[i]=1;all.erase(i);while(q.size()) {int u=q.front(); q.pop();now.clear();for(auto x:all) {if(v[u].count(x)) continue;q.push(x); now.pb(x);st[x]=1; p[x]=u;rest--;}for(auto x:now) all.erase(x);}}}
}int main()
{// ios::sync_with_stdio(false);
// cin.tie(0);cin>>n>>m;rest=1ll*n*(n-1)/2-m;for(int i=1;i<=n;i++) all.insert(i),p[i]=i;for(int i=1;i<=m;i++) {int a,b,c; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);edge[i]={a,b,c,0};v[a].insert(b); v[b].insert(a);xr^=c;}get_block();sort(edge+1,edge+1+m);LL ans=0;for(int i=1;i<=m;i++) {int a=edge[i].a,b=edge[i].b,w=edge[i].w;a=find(a); b=find(b);if(a==b) continue;p[a]=b; ans+=w; edge[i].flag=1;}if(rest>0) {printf("%lld\n",ans);return 0;}for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;for(int i=1;i<=m;i++) {int a=edge[i].a,b=edge[i].b,w=edge[i].w;a=find(a); b=find(b);if(a==b) continue;p[a]=b; if(!edge[i].flag) xr=min(xr,1ll*w);}printf("%lld\n",ans+xr);return 0;
}
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