一、基本概念

  回溯法，又称为试探法，按选优条件向前不断搜索，以达到目标。但是当探索到某一步时，如果发现原先选择并不优或达不到目标，就会退回一步重新选择，这种达不到目的就退回再走的算法称为回溯法。

与穷举法的区别和联系：

相同点：它们都是基于试探的。

区别：穷举法要将一个解的各个部分全部生成后，才检查是否满足条件，若不满足，则直接放弃该完整解，然后再尝试另一个可能的完整解，它并没有沿着一个可能的完整解的各个部分逐步回退生成解的过程。而对于回溯法，一个解的各个部分是逐步生成的，当发现当前生成的某部分不满足约束条件时，就放弃该步所做的工作，退到上一步进行新的尝试，而不是放弃整个解重来。

二、基本思想

  对于可以使用回溯法来解决的问题，首先可以将其解空间可以看成一棵解空间树。在回溯法中，每次扩大当前部分解时，都面临一个可选的状态集合（所有的子树），每个树结点代表一个可能的部分解。

  回溯法对任一解的生成，一般都采用逐步扩大解的方式。每前进一步，都试图在当前部分解的基础上扩大该部分解。它在问题的状态空间树中，从开始结点（根结点）出发，以深度优先搜索整个状态空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的活结点处，并使这个活结点成为当前扩展结点。回溯法以这种工作方式递归地在状态空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。

三、解题步骤(思路)

1. 针对给定的问题，定义问题的解空间；
2. 确定易于搜索的解空间结构；
3. 以深度优先方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。（这里的剪枝函数就是判断该结点是否满足问题题设，如果满足则向下搜索，不满足则在此剪枝）

四、算法框架

1. 递归实现：

 变量解释：

  x：存储试探解的数组

  n：解空间树的层数

  i：搜索目前所达到的层数

  start：子节点解空间的最小值

  end：子节点解空间的最大值

int x[n];
void backtrack (int i) {if (i > n) {回溯结束； } else {// 这里回溯子节点的解空间为start~endfor (j = start; j <= end; j++) {// 满足条件，向下搜索if (j满足题设条件) {x[i] = j;backtrack(i+1);// 不满足条件，在此剪枝（即回溯）} else {}}}
}   

 2. 非递归实现：

 变量解释：

  x：存储试探解的数组

  n：解空间树的层数

  i：搜索目前所达到的层数

  start：子节点解空间的最小值

  end：子节点解空间的最大值

void f_backtrack(int i) {//初始化解向量for (int j = 0; j < n; j++) {x[j] = 1;}while (i >= 1) {while (x[i] <= n) {if (place(i)) {if (i == n) {回溯结束；break;// 满足条件，向下搜索} else {i++;x[i] = 1;}// 不满足条件，在此剪枝（即回溯）} else {x[i]++;}}//遍历完子节点解空间后，向上剪枝（即回溯）x[i] = 1;i--;x[i]++;}
}  

相比之下，递归设计方法比较简单，而非递归方法，也就是循环方法设计细节比较多，但如果掌握了其特点，对不同问题的适用性很强（即代码只需要很少的修改就可以应用到不同问题），加之其最大的优势：效率更高（因为递归的实现是通过调用函数本身，函数调用的时候，每次调用时要做地址保存，参数传递等，这是通过一个递归工作栈实现的。具体是每次调用函数本身要保存的内容包括：局部变量、形参、调用函数地址、返回值。那么，如果递归调用N次，就要分配N局部变量、N形参、N调用函数地址、N返回值。这势必是影响效率的。）

五、经典实现

经典问题：八皇后问题

  八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：

  在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上（斜率为1），问有多少种摆法。高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。

递归实现为以下代码中backtrack方法

非递归实现为以下代码中f_backtrack方法：

#include <iostream>
using namespace std;
int n;
int *x;
int sum;
bool place(int k)
{for (int j = 1; j < k; j++)if (abs(x[k] - x[j]) == abs(k - j) || x[j] == x[k])return false;return true;
}void output()
{sum++; //sum为所有的可行的解for (int m = 1; m <= n; m++){cout << "<" << m << "," << x[m] << ">"; //这一行用输出当递归到叶节点的时候，一个可行解}cout << endl;
}void f_backtrack(int i)
{for (int j = 0; j < n; j++){ //初始化解向量x[j] = 1;}while (i >= 1){while (x[i] <= n){if (place(i)){ //得到可行解if (i == n){output();break;} //得到最终可行解，退出else{ //得到部分可行解，搜索下一行i++;x[i] = 1;}}else{ //当前解不可行x[i]++;}}x[i] = 1;i--;x[i]++; //回溯}
}void backtrack(int i)
{if (i > n){output();}else{for (int j = 1; j <= n; j++){x[i] = j;if (place(i)){backtrack(i + 1);}else{}}}
}int main()
{n = 8;sum = 0;x = new int[n + 1];for (int i = 0; i <= n; i++)x[i] = 0;backtrack(1);cout << "方案共有" << sum << endl;
}