试绘制闭环系统根轨迹

4-5 控制系统复域设计 ——用Matlab绘制根轨迹 在应用MATLAB画根轨迹时，需要将根轨迹方程(闭环特征方程)写成如下形式 式中 为分子多项式， 为分母多项式，二者都必须　　写成的降幂形式。 　通常采用下列MATLAB命令画根轨迹： rlocus(num , den) num=[0 0 0 1];%开环传递函数分子系数，降幂排列 den=[1 3 2 0]; %开环传递函数分母系数，降幂排列 r=rlocus(num,den); 例1. 系统的开环传递函数为： ，试利用Matlab画出系统的根轨迹。 解：打开Matlab,创建一个m文件，输入下列程序片段： 执行之，可得到根轨迹。 (1)画出系统的根轨迹； (2)计算使系统稳定的k值范围； (3)计算系统对于斜坡输入的稳态误差。 解：(1)画根轨迹： 例2 已知系统开环传递函数为 ????求出射角： ，得 。 该系统有三条根轨迹，一条从原点起始，终止于开环零点 -1处；另两条从原点以 的出射角起始，分别终止于-3和无穷零点处。 会合分离点：由方程 得 解得 在根轨迹上，因此是会合点。 不在根轨迹上，舍去。 求与虚轴交点 系统特征方程为 劳斯表为 当 时，由辅助方程 ，可求出根轨迹与虚轴的交点为 。 (2)由劳斯表可知当 时，系统稳定。 (3)系统含有三个积分环节，属Ⅲ型系统，Ⅲ型系统对于斜坡输入的稳态误差为零。 画根轨迹 分离(会合)点分别为-2.93和-17.07，分离(会合)角为90度。根轨迹为圆，如右图所示。 例3． 已知单位反馈系统的开环传递函数为 (1)画出系统的根轨迹；(2)计算当增益k为何值时，系统的阻尼比 是 ，并求此时系统的闭环特征根；(3)分析k对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。 当 时，阻尼角 ，表示 角的直线为OB,其方程为 ，代入特征方程整理后得： 令实部和虚部分别为零，有 解得 由图可知当 时直线OB与圆相切，系统的阻尼比 ，特征根为 。 对于分离点 ，由幅值条件可知 对于会合点 ，有 由根轨迹图可知，当 时，闭环系统有一对不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。 当 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。 当 时，闭环系统又有一对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。 由坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线就是直线OB，直线OB与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比，由上可知，此时系统的闭环极点为 。 例4 设系统A和B有相同的被控对象和根轨迹，如下图所示。已知系统A有一个闭环零点，系统B没有闭环零点。试求系统A和B的开环传递函数和它们所对应的闭环方块图。 ②系统A和B的闭环传递函数分别为： 解：①由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环传递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统A和B的开环传递函数为： 特征方程为： 由此可知，系统A是一单位反馈系统，前向通路的传递函数 为： 。系统B的前向通路传递函数为： ，反馈通路传递函数为： 。由于系统A和B有相同的被控对象，因此， 系统的A的前向通路传递函数可写为： ，闭环方块图如下图(a)所示，系统B的闭环方块图如下图(b)所示。 图(a) A系统 图(b) B系统 根轨迹相同的系统，开环传递函数和闭环极点都相同，但闭环零点却不一定相同。 (1)写出该系统的闭环传递函数； (2)试用适当的方法使系统在任意K值时均处于稳定的状态。 例5 已知单位反馈系统的根轨迹如下图所示。 解：① 由根轨迹图知系统的开环传递函数为： 单位反馈系统的闭环传递函数为： 提示：