矩阵乘法可交换的条件，其中的几何意义

——什么情况下矩阵乘法可交换

看到的一些数学结论说明，来源待找回。

1、A和B必须是同阶方阵，这是必要条件；即如果不是同阶方阵，一定不可交换。

2、如果A与B互逆，则AB=E=BA，A与B可交换，这是充分条件。

3、如果A的逆阵是C，而B=aC，则AB=AaC=cAC=aE(对角数量矩阵), BA=aCA=aE,AB=BA，这也是充分条件。

4、如果A和B是同阶方阵，且其中一个是0阵，则AB=0=BA，这也是充分条件。至于什么是“正交”，有这个概念，但超出了MBA的要求（我也记不得了）。我们一般不去研究A与B可交换的充分必要条件，我还记得曾经研究过一阵子，也没有明确的结果。

以上是网上可以查询到一些结论，那么其内在原因是什么呢？为什么说矩阵乘法大多数时间都不能交换呢？

——矩阵变换到底是如何变换的

AB 实际上是在B的基底下（以B为参照）进行A的变换，而A本身是在标准正交基底E下的变换，即：A = AE， AB = A （BE）。

举个例子来说，以二维矩阵为例，矩阵在X轴上相当于进行了逆时针45°旋转和倍的拉伸，那么如果进行两次变换，结果是什么样呢？会使旋转90°，2倍拉伸吗？

计算下即可： * = 。很明显不是。原因就是第二次变换时是以第一次变换后的基为作用量的。对于一个旋转变换（角度缩放），90°乘以1/2，与45°乘以1/2显然是不同的。

并且，若变换中同时具有长度和角度变换，变换顺序便会影响变换结果。假设现在有一个正方形，首先将它进行如下变换：，在进行如下变换：,

以及先进行如下变换：，再进行如下变换：。

结果有两点出乎意料又在情理之中的事情，

1.两次计算方式得出的结果并不是感性上的应该是一致的，虽然公式里有说过矩阵一般不具有交换律。

2.虽然结果不一样，但很明显两次计算得出的图形面积确是相同的，看起来只是坐标系偏折的程度不同。

从第二点上，可以看到矩阵乘法发生交换时的行列式是相同的： |AB| = |BA|。

而定理|AB| = |A||B|，当然也理所应该的推出：|BA| = |B||A| = |A||B| = |AB|。

然后就是第一点有点让人出乎意料的地方（我本人是有点觉得奇怪）：

——为什么矩阵乘法有时候（/大多时候）不可交换

为什么先旋转45°并拉伸倍，再放大2倍；与先拉伸2倍，再旋转45°并拉伸倍得出的结果不不一样呢？这里就要提到上面说过的问题，AB 实际上是在B的基底下进行A的变换，即：A = AE， AB = A （BE），变换本身的作用对象已经变了，或者说量纲已经变了（后面会谈到这个思想）。对于坐标轴拉伸后的基底，旋转45°已经不是标准正交基E下的旋转45°了。故而矩阵乘法一般不具有交换律。

那么什么情况下具有交换律呢？

首先可以想到的是，可逆变换的互为逆矩阵可以交换：AB = BA

其次，根据上面的分析，可以猜测出若所有矩阵中均仅含有伸缩变换或同时仅有角度变换则可以交换。

不太合适的例子：矩阵变换中的大小与角度变换，类似质量与形状，不管先后顺序怎么变，质量不会改变。但是形状会有不同（主要就是同样的角度在不同空间/基底下的展现形式，是不同的）。代数上的加法和乘法运算，加减可以交换，乘除可以交换。但同时具有加减与乘除时就不能交换（直接交换）了，也是因为每一次计算是以前面的结果为上下文环境。如（2 + 3）* 2 与 2 * 2 + 3。

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