2.5 矩阵乘法规则

乘法规则

根据定义，很容易验证矩阵乘法满足分配律
A(B+C)=AB+AC(A+B)C=AB+BCA(B+C) = AB + AC \\ (A+B)C = AB + BC A(B+C)=AB+AC(A+B)C=AB+BC

证第一个式子
A(B+C)=A[b1+c1,⋯,bp+cp]=[A(b1+c1),⋯,A(bp+cp)]=[Ab1+Ac1,⋯,Abp+Acp]=[Ab1,⋯,Abp]+[Ac1,⋯,Acp]=AB+ACA(B+C) = A \left[ \mathbf{b_1+c_1},\cdots,\mathbf{b_p+c_p}\right] \\ = \left[ A(\mathbf{b_1+c_1}),\cdots,A(\mathbf{b_p+c_p})\right] \\ = \left[ A\mathbf{b_1}+A\mathbf{c_1},\cdots,A\mathbf{b_p}+A\mathbf{c_p}\right] \\ = \left[ A\mathbf{b_1},\cdots,A\mathbf{b_p}\right] + \left[ A\mathbf{c_1},\cdots,A\mathbf{c_p}\right] \\ = AB + AC A(B+C)=A[b1+c1,⋯,bp+cp]=[A(b1+c1),⋯,A(bp+cp)]=[Ab1+Ac1,⋯,Abp+Acp]=[Ab1,⋯,Abp]+[Ac1,⋯,Acp]=AB+AC
矩阵乘法满足结合律
A(BC)=(AB)CA(BC) = (AB)C A(BC)=(AB)C
证：根据 A(Bc)=(AB)cA(B\mathbf{c}) = (AB)\mathbf{c}A(Bc)=(AB)c ，令向量 c\mathbf{c}c 为矩阵 CCC 的每个向量得，
A(Bc1)=(AB)c1⋯A(Bcp)=(AB)cpA(B\mathbf{c_1}) = (AB)\mathbf{c_1} \\ \cdots \\ A(B\mathbf{c_p}) = (AB)\mathbf{c_p} A(Bc1)=(AB)c1⋯A(Bcp)=(AB)cp

(AB)C=(AB)[c1,⋯,cp]=[(AB)c1,⋯,(AB)cp]=[A(Bc1),⋯,A(Bcp)]=A[Bc1,⋯,Bcp]=A(B[c1,⋯,cp])=A(BC)(AB)C = (AB)\left[ \mathbf{c_1},\cdots,\mathbf{c_p}\right] \\ = \left[ (AB)\mathbf{c_1},\cdots,(AB)\mathbf{c_p}\right] \\ = \left[ A(B\mathbf{c_1}),\cdots,A(B\mathbf{c_p})\right] \\ = A\left[ B\mathbf{c_1},\cdots,B\mathbf{c_p}\right] \\ = A(B\left[ \mathbf{c_1},\cdots,\mathbf{c_p}\right]) \\ = A(BC) (AB)C=(AB)[c1,⋯,cp]=[(AB)c1,⋯,(AB)cp]=[A(Bc1),⋯,A(Bcp)]=A[Bc1,⋯,Bcp]=A(B[c1,⋯,cp])=A(BC)

矩阵数乘满足交换律
λ(AB)=(λA)B=A(λB)\lambda (AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B) λ(AB)=(λA)B=A(λB)
矩阵这些运算规则和实数运算规则一样，所以涉及矩阵加法、数乘、分配率和结合律时，可以把矩阵当作实数来化简表达式，只要满足形状要求。

交换律：不满足

实数乘法满足交换律，即 ab=baab=baab=ba 。但矩阵乘法不满足交换律，即一般来说 AB≠BAAB \ne BAAB=BA ，只有特殊矩阵才满足交换律。这是矩阵最特殊的地方，也是最容易出错的地方！比如计算
(A+B)(A+B)=(A+B)A+(A+B)B=(AA+BA)+(AB+BB)=AA+BB+AB+BA≠AA+BB+2AB≠AA+BB+2BA(A+B)(A+B) = (A+B)A + (A+B)B = (AA + BA) + (AB + BB) \\ = AA + BB + AB + BA \\ \ne AA + BB + 2AB \\ \ne AA + BB + 2BA (A+B)(A+B)=(A+B)A+(A+B)B=(AA+BA)+(AB+BB)=AA+BB+AB+BA=AA+BB+2AB=AA+BB+2BA
所以在计算矩阵乘法时，一定要严格按照矩阵顺序来，不要随便改变矩阵位置！

首先，ABABAB 和 BABABA 要能相乘，必须满足形状要求，则 AmnA_{mn}Amn BnmB_{nm}Bnm ；乘积相等，要求 m=nm=nm=n ，故 AAA ，BBB 为同型方阵。

其次，即使为同型方阵， AB=[Ab1,⋯,Abn]AB=\left[ A\mathbf{b_1},\cdots,A\mathbf{b_n}\right]AB=[Ab1,⋯,Abn] 和 BA=[Ba1,⋯,Ban]BA=\left[ B\mathbf{a_1},\cdots,B\mathbf{a_n}\right]BA=[Ba1,⋯,Ban] ，向量 AbiA\mathbf{b_i}Abi 是向量组 AAA 的线性组合，向量 BaiB\mathbf{a_i}Bai 是向量组 BBB 的线性组合，完全是不同的线性组合，故一般不会相等。

定义方阵可交换对于两个 nnn 阶方阵 A,BA,BA,B ，若 AB=BAAB=BAAB=BA ，则称方阵 AAA 与 BBB 是可交换的。