问题提出

今天做到一道线性代数的证明题，如下：

设A,BA, BA,B都是nnn阶正定矩阵，且AB=BAAB=BAAB=BA，证明：ABABAB也是正定矩阵。

想了好半天没想出来，结果一翻答案，竟然是按照特征值证明的，两个矩阵相乘，特征值也相乘吗？ 一开始没想明白，顺着这个思路在网上找了半天，没找到答案，反倒是直接搜这个问题得到了一个能够理解的证明思路，下面记录一下证明过程，顺带这道题的一些扩展思路。

理论准备

1 对称矩阵与反对称矩阵

首先需要明确的是，对称矩阵和反对称矩阵都是指方阵。另外，一般讨论的对称矩阵和反对称矩阵都是在定义在实数域的，即都是实矩阵。

对称矩阵
若AAA为nnn阶矩阵，且满足AT=AA^T=AAT=A，则AAA为对称矩阵。因此，对于对称矩阵AAA，应该满足aij=aji,i,j=1,2,...,n.a_{ij}=a_{ji}, \, \, \space \space i,j=1,2,...,n.aij=aji, i,j=1,2,...,n.
反对称矩阵
若AAA为nnn阶矩阵，且满足 AT=−AA^T=-AAT=−A，则AAA为反对称矩阵。因此，对于反对称矩阵AAA，应该满足aij=−aji,i,j=1,2,...,n.a_{ij}=-a_{ji}, \, \, \space \space i,j=1,2,...,n.aij=−aji, i,j=1,2,...,n. 故反对称矩阵的对角元素都为0。

根据对称矩阵和反对称矩阵的定义，可以得到一个重要的结论：

任意一个nnn阶矩阵（方阵），都可以分解为一个nnn阶对称矩阵SSS和一个nnn阶反对称矩阵MMM之和。

这个命题的证明思路非常简单：
A=A+AT2+A−AT2,令S=A+AT2，M=A−AT2A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2},\space \space \space 令S=\frac{A+A^T}{2}，M=\frac{A-A^T}{2}A=2A+AT+2A−AT, 令S=2A+AT，M=2A−AT
显然，ST=S,MT=−MS^T=S, M^T=-MST=S,MT=−M，故MMM为对称矩阵，SSS为反对称矩阵，证毕。

其实对称是矩阵的一个非常重要的性质，但是从它的定义来看，似乎也没有什么能够得到的性质或推论，尤其是在矩阵乘法方面，即使是对称矩阵，乘了一个矩阵之后就不一定对称了，但是对于对称矩阵相乘，有一个可能会有用的结论。

若A,BA, BA,B为对称矩阵，则 ABABAB为对称矩阵⇔\Leftrightarrow⇔ A,BA, BA,B可交换（即AB=BAAB=BAAB=BA）

证明思路如下：

2 正定矩阵

首先需要明确的一点的是，正定矩阵是定义在实对称矩阵上的，即当我们说一个矩阵是正定的，就已经默认它是一个对称矩阵。这一点似乎很多教材上存在不同的说法，或者并没有明确指出，但其实已经暗含了这个条件，因为在正定矩阵这一块，都是说有一个二次型AAA…即已经将讨论范围限定在二次型了，即对称矩阵。

值得一提的是，为什么正定矩阵要定义在对称矩阵上？因为根据其特征值都大于0的判别方式，其实也有很多非对称矩阵满足这个条件。
在知乎上找到一个链接，虽然它底下的答案都是回答“正定矩阵是否都是对称矩阵” 这个问题，但个人觉得这些答案或许用来解释 “为什么正定矩阵都定义在对称矩阵上”。其中一个利用了上面证明的那个矩阵拆解的定理，其中值得注意的是，反对称矩阵的二次型为0（根据定义可以推得），因此，讨论一个nnn阶矩阵的二次型问题，即使它对应的矩阵不是对称矩阵（即交叉项没有对半拆），最后都可以转化为对称矩阵的二次型问题，因此正定矩阵索性就定义在对称矩阵上。

如果加上对称这个条件，那么正定矩阵的判定与性质可以总结为以下几点：

常用的两种判别方式
- 特征值法：矩阵AAA为对称矩阵 + AAA的所有特征值都大于0；
- 顺序主子式法：矩阵AAA为对称矩阵 + AAA的各阶顺序主子式都大于0 ；
其他在证明题中常用的等价结论
- AAA为正定矩阵 ⇔\Leftrightarrow⇔ 存在可逆矩阵BBB, 使得 A=BTBA=B^TBA=BTB
- AAA为正定矩阵 ⇔\Leftrightarrow⇔ A⋍EA\backsimeq EA⋍E（EEE为单位矩阵，有些教材用的是III）
- AAA为正定矩阵 ⇔\Leftrightarrow⇔ AAA的正惯性指数为nnn

问题证明

有了上述理论知识储备，我们再来看一下最开始提出的问题：

设A,BA, BA,B都是nnn阶正定矩阵，且AB=BAAB=BAAB=BA，证明：ABABAB也是正定矩阵。

下面是证明过程：

证：
因为A,BA, BA,B为nnn阶矩阵，则AT=A,BT=BA^T=A, B^T=BAT=A,BT=B，又因为AB=BAAB=BAAB=BA，故ABABAB为对称矩阵，即满足正定矩阵的前提条件。
因A,BA, BA,B为正定矩阵，故存在可逆矩阵PPP和QQQ，使得A=PTP,B=QTQA=P^TP, \space \space \space B=Q^TQA=PTP, B=QTQ.
由此得到：
QABQ−1=Q(PTP∗QTQ)Q−1=Q(PTP)QT=(PQT)T∗(PQT)QABQ^{-1}=Q(P^TP*Q^TQ)Q^{-1}=Q(P^TP)Q^T=(PQ^T)^T*(PQ^T)QABQ−1=Q(PTP∗QTQ)Q−1=Q(PTP)QT=(PQT)T∗(PQT)
显然，PQTPQ^TPQT为可逆矩阵，故(PQT)T∗(PQT)(PQ^T)^T*(PQ^T)(PQT)T∗(PQT)为正定矩阵，其特征值都大于0，而ABABAB与矩阵(PQT)T∗(PQT)(PQ^T)^T*(PQ^T)(PQT)T∗(PQT)相似，故其特征值相同，都大于0。故ABABAB为正定矩阵，证毕。

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