线性代数系列（1）行列式
行列式
主要名词概念
逆序、逆序数、对换、奇偶排列、n阶行列式、上下三角形行列式、对角行列式、转置行列式、余子式、代数余子式、k阶子式、k阶子式的余子式、k阶子式的代数余子式、对称行列式、反对称行列式、系数行列式、零解、非零解
n阶行列式
二、三阶行列式的概念、定义
二阶行列式
行列式的概念是从解线性方程组的问题中产生的，比如二元线性方程组：
{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2\LARGE \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \\ \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2
用加减消元法，先消去 x2\large x_2x2 得：
(a11a22−a12a21)x1=b1a22−b2a12\LARGE (a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}) x_1 = b_1 a_{22} - b_2 a_{12} (a11a22−a12a21)x1=b1a22−b2a12
同样的方法消去 x1\large x_1x1 得：
(a11a22−a12a21)x2=b2a11−b1a21\LARGE (a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}) x_2 = b_2 a_{11} - b_1 a_{21} (a11a22−a12a21)x2=b2a11−b1a21
因此，当 (a11a22−a12a21)≠0\large (a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}) \ne 0(a11a22−a12a21)=0 时有唯一解，即：
x1=b1a22−b2a12a11a22−a12a21,x2=b2a11−b1a21a11a22−a12a21\LARGE x_1 = \frac{b_1 a_{22} - b_2 a_{12}} {a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} , x_2 = \frac{b_2 a_{11} - b_1 a_{21}} {a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} x1=a11a22−a12a21b1a22−b2a12,x2=a11a22−a12a21b2a11−b1a21
为了方便记忆，我们定义一个符号：
∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21\LARGE \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} ∣∣a11a21a12a22∣∣=a11a22−a12a21
这样规定的记号 ∣a11a12a21a22∣\large \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}∣∣a11a21a12a22∣∣ 称为 二阶行列式 ，它含有两行两列，横为行，竖为列。
行列式中，数 aij(i,j=1,2)\large a_{ij} (i,j = 1,2)aij(i,j=1,2) 称为行列式的元素，第一个下标 i\large ii 称为 行标 ，第二个下标 j\large jj 称为 列标 。比如 a21\large a_{21}a21 就是第二行第一列的元素。
二阶行列式的计算
由上面的定义，我们可以知道二阶行列式是这样两项的代数和：
- 从左上角到右下角，也就是实线，称为 行列式的主对角线
- 从右上角到左下角，也就是虚线，称为 行列式的次对角线
计算的话，就是主对角线元素相乘，减去次对角线上的元素相乘。
例题：
设 D=∣λ−112λ∣\large D= \begin{vmatrix} \lambda -1 & 1 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix}D=∣∣λ−121λ∣∣ ，问：当 $\large \lambda $ 为何值时，D≠0\large D\ne 0D=0 ？
解：
D=∣λ−112λ∣=(λ−1)λ−2=(λ−2)(λ+1)\LARGE D= \begin{vmatrix} \lambda -1 & 1 \\ 2 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda -1)\lambda -2 = (\lambda -2)(\lambda +1) D=∣∣λ−121λ∣∣=(λ−1)λ−2=(λ−2)(λ+1)
所以当 (λ−2)(λ+1)≠0\large (\lambda -2)(\lambda +1) \ne 0(λ−2)(λ+1)=0 时，D≠0\large D\ne 0D=0 。即 λ≠2,λ≠−1\large \lambda \ne 2, \lambda \ne -1λ=2,λ=−1 。
三阶行列式
同样的，由上述二阶行列式，我们可以衍生出三阶行列式，对于三元线性方程组：
{a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3\LARGE \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3 \\ \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3
同前面一样，为了方便记忆，我们引入记号：
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32\LARGE \begin{array}{l} \left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| \\ =a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32} \\ -a_{13} a_{22} a_{31}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{11} a_{23} a_{32} \end{array} ∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32
上面就称为 三阶行列式 。它含有三行三列，是 3!=6\large 3! = 63!=6 项的代数和。
三阶行列式的计算
和二阶行列式一样可以用画线法来进行记忆，下面这个方法称为三阶行列式的 对角线展开法 ：
- 三个实线上的元素分别相乘然后相加，再减去每个虚线上的元素相乘
- 对角线展开法 仅适用与三阶及以下的行列式计算
排列和逆序
❗️ 定义：由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列。
列如，123，是一个3级排序，4132，2143，1234都说4级排序。n级排列共有 n!\large n!n! 个。
❗️ 定义：在一个n级排列中，如果较大的数排列在较小的数前面，则它们构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总和称为它的 逆序数 。排列 i1i2...in\large i_1i_2...i_ni1i2...in 的逆序数记为 N(i1i2...in)\large N(i_1i_2...i_n)N(i1i2...in) 。
- 逆序数为偶数称为 **偶排列 **
- 逆序数为奇数称为 奇排列
例如，排列 4132 中，4和1，4和3，4和2，3和2，各构成一个逆序，总共4个逆序，即 N(4132)=4\large N(4132)=4N(4132)=4 ，是一个偶排列。
计算逆序数的时候可以从第一个数开始往后比较，如：
- ①分别和②③④比较，如果①比较大，就加一
- ②分别和③④比较，如果②比较大，就加一
- ③和④比较，如果③比较大，就加一
❗️ 定理：一个排列经过一个对换后（排列中的任意两个数交换位置），奇偶性改变。
由上述定理可以得到下面一个重要的结论
❗️ 定理：在全部n级别排列中，偶排列和奇排列各占一半，都有 n!2(n≥2)\large \frac{n!}{2} (n\ge 2)2n!(n≥2) 个 。
n阶行列式
由二阶、三阶行列式的概念推广到n阶：
❗️ 定义：由 n2\large n^2n2 个元素 aij(i,j=1,2,...,n)\large a_{ij} (i,j=1,2,...,n)aij(i,j=1,2,...,n) 组成的记号
∣a11a12...a1na21a22...a2n............an1an2...ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix} ∣∣a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann∣∣
称为 n阶行列式 。
n阶行列式的计算
将行列式 ∣a11a12...a1na21a22...a2n............an1an2...ann∣\large \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix}∣∣a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann∣∣ 简记为 D=∣aij∣\large D=\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}D=∣∣aij∣∣ 。
并将元素 a11,a22,...,ann\large a_{11},a_{22},...,a_{nn}a11,a22,...,ann （从左上角到右下角的对角线）称为 主对角线 ；把元素 a1n,a2,n−1,...,an1\large a_{1n},a_{2,n-1},...,a_{n1}a1n,a2,n−1,...,an1 （从右上角到左下角的对角线）称为 次对角线 。
按行展开计算
D=∑j1j2...jn(−1)N(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn\LARGE D=\sum_{j_1j_2...j_n}^{} (-1)^{N(j_1j_2...j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n} D=j1j2...jn∑(−1)N(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn
也就是 行 是固定顺序，列 是按照排列来的，因为有n列，所以有 n!\large n!n! 项。又因为在n级排列中，奇偶排列各占一半，符号是根据奇偶排列来的，所有正负项也各占一半。
一般项为：
(−1)N(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn\LARGE (-1)^{N(j_1j_2...j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n} (−1)N(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn
按列展开计算
D=∑i1i2...in(−1)N(i1i2...in)ai11ai22...ainn\LARGE D=\sum_{i_1i_2...i_n}^{} (-1)^{N(i_1i_2...i_n)} a_{i_11}a_{i_22}...a_{i_nn} D=i1i2...in∑(−1)N(i1i2...in)ai11ai22...ainn
一般项为：
(−1)N(i1i2...in)ai11ai22...ainn\LARGE (-1)^{N(i_1i_2...i_n)} a_{i_11}a_{i_22}...a_{i_nn} (−1)N(i1i2...in)ai11ai22...ainn
既不按行也不按列
n行列式的一般项，可以记为：
上三角、下三角、对角行列式
下三角行列式：
D=∣a1100...0a21a220...0...............an1an2an3...ann∣=a11a22a33...ann\LARGE D= \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 & ... & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}...a_{nn} D=∣∣a11a21...an10a22...an200...an3............00...ann∣∣=a11a22a33...ann
它的值等于其主对角线上的所有元素的乘积
上三角行列式：
D=∣a11a12a13...a1n0a22a23...a2n...............000...ann∣=a11a22a33...ann\LARGE D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}...a_{nn} D=∣∣a110...0a12a22...0a13a23...0............a1na2n...ann∣∣=a11a22a33...ann
它的值也等于其主对角线上的所有元素的乘积
对角行列式：
D=∣a1100...00a220...0...............000...ann∣=a11a22a33...ann\LARGE D= \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}...a_{nn} D=∣∣a110...00a22...000...0............00...ann∣∣=a11a22a33...ann
它的值也等于其主对角线上的所有元素的乘积
次对角线上
比如类似这种的
D=∣0...0a1n0...a2,n−1a1n............an1...an,n−1a1n∣=(−1)n(n−1)2a1na2,n−1...an1\LARGE D= \begin{vmatrix} 0 & ... & 0 & a_{1n} \\ 0 & ... & a_{2,n-1} & a_{1n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{n,n-1} & a_{1n} \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}...a_{n1} D=∣∣00...an1............0a2,n−1...an,n−1a1na1n...a1n∣∣=(−1)2n(n−1)a1na2,n−1...an1
它的值等于其次主对角线上的所有元素的乘积，并且是带符号的。
例题
例1：
计算行列式
D=∣0200003000041000∣\LARGE D= \begin{vmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} D=∣∣0001200003000040∣∣
仔细观察上面的行列式会发现每行只有一个元素为不为0，而这4给元素又在不同列。
我们按行展开，只有一项非零项，其余项都会为0，即：
a12a23a34a41=2×3×4×1=24\LARGE a_{12}a_{23}a_{34}a_{41} = 2 \times 3 \times 4 \times 1=24 a12a23a34a41=2×3×4×1=24
又因为2341是奇排列，因此这一项前面应该为负号，所以：
D=−a12a23a34a41=−24\LARGE D = -a_{12}a_{23}a_{34}a_{41} = -24 D=−a12a23a34a41=−24
例2：
行列式的性质
转置行列式
设有n阶行列式
D=∣a11a12...a1na21a22...a2n............an1an2...ann∣\LARGE D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix} D=∣∣a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann∣∣
将D的行与列进行交换后得到的行列式，称为D的 转置行列式 ，记为 DT\large D^TDT 或 D′\large D^{'}D′ 。即：
D=∣a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann∣\LARGE D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & ... & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & ... & a_{n2} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{1n} & a_{2n} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix} D=∣∣a11a12...a1na21a22...a2n............an1an2...ann∣∣
显然 (DT)T=D\large (D^T)^T = D(DT)T=D 。
❗️ 性质：对于任何行列式D，均有 DT=D\large D^T = DDT=D 。
证：记D的一般项为
(−1)N(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn\LARGE (-1)^{N(j_1j_2...j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n} (−1)N(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn
它的元素在 D\large DD 中位于不同行不同列，因此在 DT\large D^TDT 中也位于不同行不同列，所以这n个元素在 DT\large D^TDT 中应该为：
aj11aj22...ajnn\LARGE a_{j_11}a_{j_22}...a_{j_nn} aj11aj22...ajnn
把 j\large jj 换成 i\large ii ，就是列展开的形式：
(−1)N(i1i2...in)ai11ai22...ainn\LARGE (-1)^{N(i_1i_2...i_n)} a_{i_11}a_{i_22}...a_{i_nn} (−1)N(i1i2...in)ai11ai22...ainn
所以 DT=D\large D^T = DDT=D 。
❗️ 性质：行列式两行（列）互换，其值变号。即：
∣a11a12...a1n............ai1ai2...ain............as1as2...asn............an1an2...ann∣=−∣a11a12...a1n............as1as2...asn............ai1ai2...ain............an1an2...ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{i1}& a_{i2} & ... & a_{in}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{s1}& a_{s2} & ... & a_{sn}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{s1}& a_{s2} & ... & a_{sn}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{i1}& a_{i2} & ... & a_{in}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} ∣∣a11...ai1...as1...an1a12...ai2...as2...an2.....................a1n...ain...asn...ann∣∣=−∣∣a11...as1...ai1...an1a12...as2...ai2...an2.....................a1n...asn...ain...ann∣∣
❗️ 性质：将行列式的某一行或某一列中所有元素同乘以数k，等于用这个数k乘该行列式：
∣a11a12...a1n............kai1kai2...kain............an1an2...ann∣=k∣a11a12...a1n............ai1ai2...ain............an1an2...ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...& ... & ... & ...\\ ka_{i1}& ka_{i2} & ... & ka_{in}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{i1}& a_{i2} & ... & a_{in}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} ∣∣a11...kai1...an1a12...kai2...an2...............a1n...kain...ann∣∣=k∣∣a11...ai1...an1a12...ai2...an2...............a1n...ain...ann∣∣
利用上述方法可以进行提取公因数。
❗️ 性质：如果行列式中有两行（列）对应的 元素相同 ，或 成比例 ，则该行列式为0。
❗️ 性质：如果行列式中某一行（列）对应的 元素全为0 ，则该行列式为0。
❗️ 性质：若行列式的某一行（列）中所有元素都是两项的和，则该行列式可以表示为两个行列式相加。即：
∣a11a12...a1n............bi1ci1b21ci2...bincin............an1an2...ann∣=∣a11a12...a1n............bi1b21...bin............an1an2...ann∣+∣a11a12...a1n............ci1c21...cin............an1an2...ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...& ... & ... & ...\\ b_{i1}c_{i1}& b_{21}c_{i2} & ... & b_{in}c_{in}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \\\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...& ... & ... & ...\\ b_{i1}& b_{21} & ... & b_{in}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...& ... & ... & ...\\ c_{i1}& c_{21} & ... & c_{in}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} ∣∣a11...bi1ci1...an1a12...b21ci2...an2...............a1n...bincin...ann∣∣=∣∣a11...bi1...an1a12...b21...an2...............a1n...bin...ann∣∣+∣∣a11...ci1...an1a12...c21...an2...............a1n...cin...ann∣∣
❗️ ⭐️ ⭐️⭐️性质：将行列式一行（列）中所有元素都乘以数k后加到另外一行（列）的对应元素上，行列式值不变。即：
∣a11a12...a1n............ai1ai2...ain............aj1aj2...ajn............an1an2...ann∣=∣a11a12...a1n............ai1ai2...ain............aj1+kai1aj2+kai2...ajn+kain............an1an2...ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{i1}& a_{i2} & ... & a_{in}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{j1}& a_{j2} & ... & a_{jn}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \\\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{i1}& a_{i2} & ... & a_{in}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{j1}+ka_{i1}& a_{j2}+ka_{i2} & ... & a_{jn}+ka_{in}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} ∣∣a11...ai1...aj1...an1a12...ai2...aj2...an2.....................a1n...ain...ajn...ann∣∣=∣∣a11...ai1...aj1+kai1...an1a12...ai2...aj2+kai2...an2.....................a1n...ain...ajn+kain...ann∣∣
可以想一下线性方程组，在计算过程中，其中一个式子乘一个系数，加到另一个式子中进行计算、消元。
证：
可以上一个性质我们可以把行列式拆开
∣a11a12...a1n............ai1ai2...ain............aj1+kai1aj2+kai2...ajn+kain............an1an2...ann∣=∣a11a12...a1n............ai1ai2...ain............aj1aj2...ajn............an1an2...ann∣+∣a11a12...a1n............ai1ai2...ain............kai1kai2...kain............an1an2...ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{i1}& a_{i2} & ... & a_{in}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{j1}+ka_{i1}& a_{j2}+ka_{i2} & ... & a_{jn}+ka_{in}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \\\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{i1}& a_{i2} & ... & a_{in}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{j1}& a_{j2} & ... & a_{jn}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{i1}& a_{i2} & ... & a_{in}\\ ... & ... & ... & ...\\ ka_{i1}& ka_{i2} & ... & ka_{in}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} ∣∣a11...ai1...aj1+kai1...an1a12...ai2...aj2+kai2...an2.....................a1n...ain...ajn+kain...ann∣∣=∣∣a11...ai1...aj1...an1a12...ai2...aj2...an2.....................a1n...ain...ajn...ann∣∣+∣∣a11...ai1...kai1...an1a12...ai2...kai2...an2.....................a1n...ain...kain...ann∣∣
有因为第二个行列式，某两行成倍数关系，所以第二个行列式等于0，所以：
∣a11a12...a1n............ai1ai2...ain............aj1+kai1aj2+kai2...ajn+kain............an1an2...ann∣=∣a11a12...a1n............ai1ai2...ain............aj1aj2...ajn............an1an2...ann∣+0\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{i1}& a_{i2} & ... & a_{in}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{j1}+ka_{i1}& a_{j2}+ka_{i2} & ... & a_{jn}+ka_{in}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} = \\\LARGE \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{i1}& a_{i2} & ... & a_{in}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{j1}& a_{j2} & ... & a_{jn}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} + 0 ∣∣a11...ai1...aj1+kai1...an1a12...ai2...aj2+kai2...an2.....................a1n...ain...ajn+kain...ann∣∣=∣∣a11...ai1...aj1...an1a12...ai2...aj2...an2.....................a1n...ain...ajn...ann∣∣+0
例题
行列式按某一行（列）展开
一般来说低阶的计算比高阶行列式的计算简便，所以在计算行列式时，可以考虑将高阶行列式转换为低阶行列式。
余子式和代数余子式
❗️ 定义：在 n(n>1)\large n(n>1)n(n>1) 阶行列式 D=∣aij∣\large D = \begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix}D=∣∣aij∣∣ 中，将元素 aij\large a_{ij}aij 所在的第 i\large ii 行和第 j\large jj 列划去（删除），剩下的元素按照原来的相对位置所构成的 n−1\large n-1n−1 阶行列式，称为 D\large DD 中元素 aij\large a_{ij}aij 的 余子式 ，记为 Mij\large M_{ij}Mij 。
例：
D=∣a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44∣\LARGE D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} D=∣∣a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44∣∣
a23\large a_{23}a23 的 余子式 为：
M23=∣a11a12a14a31a32a34a41a42a44∣\LARGE M_{23}= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} M23=∣∣a11a31a41a12a32a42a14a34a44∣∣
在 aij\large a_{ij}aij 的余子式 Mij\large M_{ij}Mij 前面加上一个符号 (−1)i+j\large (-1)^{i+j}(−1)i+j 后，就称为 aij\large a_{ij}aij 在 D\large DD 中的 代数余子式 ，记为 Aij\large A_{ij}Aij ，即 Aij=(−1)i+jMij\large A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij}Aij=(−1)i+jMij 。
上面例子中， a23\large a_{23}a23 的 代数余子式 为：
A23=(−1)2+3∣a11a12a14a31a32a34a41a42a44∣=−∣a11a12a14a31a32a34a41a42a44∣\LARGE A_{23}= (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} A23=(−1)2+3∣∣a11a31a41a12a32a42a14a34a44∣∣=−∣∣a11a31a41a12a32a42a14a34a44∣∣
行列式按某一行（列）展开
❗️ 定理：（行列式按行（列）展开）n阶行列式 D=∣aij∣\large D = \begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix}D=∣∣aij∣∣ 等于它的任意一行（列）中各元素与其对应的 代数余子式乘积的和 ，即：
D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin,i=(1,2,...,n)\LARGE D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in} , i = (1,2,...,n) D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin,i=(1,2,...,n)
或
D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj,j=(1,2,...,n)\LARGE D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj} , j = (1,2,...,n) D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj,j=(1,2,...,n)
例题：
例1：
按第一行展开
D=∣132465368∣=1×(−1)1+1∣6568∣+3×(−1)1+2∣4538∣+2×(−1)1+3∣4636∣=\LARGE \begin{array}{c} D=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 3 & 6 & 8 \end{array}\right|=1 \times(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll} 6 & 5 \\ 6 & 8 \end{array}\right|+ \\ 3 \times(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ll} 4 & 5 \\ 3 & 8 \end{array}\right|+2 \times(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ll} 4 & 6 \\ 3 & 6 \end{array}\right|= \end{array} D=∣∣143366258∣∣=1×(−1)1+1∣∣6658∣∣+3×(−1)1+2∣∣4358∣∣+2×(−1)1+3∣∣4366∣∣=
例2：
❗️ 定理：（异乘变零定理）n阶行列式 D=∣aij∣\large D = \begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix}D=∣∣aij∣∣ 的某一行（列）的所有元素与另一行（列）中对应的元素的代数余子式乘积的和为零，即：
ai1As1+ai2As2+...+ainAsn=0,(i≠s)a1jA1t+a2jA2t+...+anjAnt=0,(j≠t)\LARGE a_{i1}A_{s1}+a_{i2}A_{s2}+...+a_{in}A_{sn}=0 , (i \ne s) \\\LARGE a_{1j}A_{1t}+a_{2j}A_{2t}+...+a_{nj}A_{nt}=0 , (j \ne t) ai1As1+ai2As2+...+ainAsn=0,(i=s)a1jA1t+a2jA2t+...+anjAnt=0,(j=t)
（不许NTR，纯爱战士狂喜）
证：
∣a11a12...a1na21a22...a2n............ai1ai2...ain............an1an2...ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix} ∣∣a11a21...ai1...an1a12a22...ai2...an2..................a1na2n...ain...ann∣∣
假设第一行所有元素乘上第 i\large ii 行的对应元素的代数余子式，那么：
a11Ai1+a12Ai2+...+a1nAin\LARGE a_{11}A_{i1}+a_{12}A_{i2}+...+a_{1n}A_{in} a11Ai1+a12Ai2+...+a1nAin
上面的式子，根据 行列式按行（列）展开 又可以变成：
a11Ai1+a12Ai2+...+a1nAin=∣a11a12...a1na21a22...a2n............a11a12...a1n............an1an2...ann∣\LARGE a_{11}A_{i1}+a_{12}A_{i2}+...+a_{1n}A_{in} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix} a11Ai1+a12Ai2+...+a1nAin=∣∣a11a21...a11...an1a12a22...a12...an2..................a1na2n...a1n...ann∣∣
上面的行列式，第一行元素和第 i\large ii 行元素对应相等，所以行列式为0。所以 异乘变零 ：
a11Ai1+a12Ai2+...+a1nAin=0\LARGE a_{11}A_{i1}+a_{12}A_{i2}+...+a_{1n}A_{in} = 0 a11Ai1+a12Ai2+...+a1nAin=0
拉普拉斯定理
行列式的计算
“杨辉三角”
加边法
范德蒙行列式
注意 ：是 ∏1≤j<i≤n\LARGE \prod_{1 \leq j<i \leq n}∏1≤j<i≤n ， j\large jj 是小于 i\large ii ，不是小于等于。
例如：n=4
Dn=(x2−x1)(x3−x1)(x4−x1)(x3−x2)(x4−x2)(x4−x3)\LARGE D_n = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1) \\\LARGE (x_3-x_2)(x_4-x_2) \\\LARGE (x_4-x_3) Dn=(x2−x1)(x3−x1)(x4−x1)(x3−x2)(x4−x2)(x4−x3)
一定是“后面”的减法“前面”
反对称矩阵
反对称矩阵=0。
- 主对角线全为0
- 上下位置对应元素（关于主对角线对称），互为相反数
克莱姆（Cramer）法则
设定含有n个未知量n个方程组的线性方程组
{a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2......an1x1+an2x2+...+annxn=bn\LARGE \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +...+a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +...+a_{2n}x_n = b_2 \\ ......\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 +...+a_{nn}x_n = b_n \\ \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2......an1x1+an2x2+...+annxn=bn
我们称它的系数 aij\large a_{ij}aij 所构成的行列式
∣a11a12...a1na21a22...a2n............an1an2...ann∣\LARGE \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix} ∣∣a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann∣∣
为此方程组的 系数行列式 。
将 D\large DD 的第1，2，…，n列分别换成常数项 b1,b2,..,bn\large b_1,b_2,..,b_nb1,b2,..,bn 后，所得到的n个n阶行列式依次记为 D1,D2,...,Dn\large D_1,D_2,...,D_nD1,D2,...,Dn ，即
D1=∣b1a12…a1nb2a22…a2n…………bnan2…ann∣,D2=∣a11b1…a1na21b2…a2n…………an1bn…ann∣Dn=∣a11a12…b1a21a22…b2…………an1an2…bn∣\LARGE \begin{array}{c} D_{1}=\left|\begin{array}{llll} b_{1} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ b_{n} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right|, D_{2}=\left|\begin{array}{llll} a_{11} & b_{1} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & b_{2} & \ldots & a_{2 n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & b_{n} & \ldots & a_{n n} \end{array}\right| \\ D_{n}=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & b_{2} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & b_{n} \end{array}\right| \end{array} D1=∣∣b1b2…bna12a22…an2…………a1na2n…ann∣∣,D2=∣∣a11a21…an1b1b2…bn…………a1na2n…ann∣∣Dn=∣∣a11a21…an1a12a22…an2…………b1b2…bn∣∣
❗️ 定理：（克莱姆法则）含有n个方程n个未知量的线性方程组，当它的系数行列式 D≠0\large D \ne 0D=0 时，有唯一解：
xj=DjD,(j=1,2,...,n)\LARGE x_j = \frac{D_j}{D} ,(j=1,2,...,n) xj=DDj,(j=1,2,...,n)
当线性方程组的常数项全为零时：
{a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0......an1x1+an2x2+...+annxn=0\LARGE \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +...+a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +...+a_{2n}x_n = 0 \\ ......\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 +...+a_{nn}x_n = 0 \\ \end{matrix}\right. ⎩⎨⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0......an1x1+an2x2+...+annxn=0
称为 齐次线性方程组 。
显然它是肯定有解的 x1=0,x2=0,...,xn=0\large x_1=0,x_2=0,...,x_n=0x1=0,x2=0,...,xn=0 ，此解称为齐次线性方程组的 零解 。除此以外的解，称为齐次线性方程组的 非零解 。
由克莱姆法则可以得出以下定理：
- D≠0(符合克莱姆法则)⟺齐次线性方程组只有零解\large D \ne 0 (符合克莱姆法则) \Longleftrightarrow 齐次线性方程组只有零解D=0(符合克莱姆法则)⟺齐次线性方程组只有零解
- D=0(符合克莱姆法则)⟺齐次线性方程组有非零解\large D = 0 (符合克莱姆法则) \Longleftrightarrow 齐次线性方程组有非零解D=0(符合克莱姆法则)⟺齐次线性方程组有非零解
线性代数系列（1）行列式相关推荐
- 行列式【线性代数系列（一）】
行列式[线性代数系列(一)] 文章目录 1. 行列式及相关概念 1.1 二阶行列式 1.2 三阶行列式 1.3 n阶行列式 1.4 行列式相关概念及定理 2. 行列式按行(列)展开法则 3. 几种特殊 ...
- 矩阵【线性代数系列（二）】
矩阵[线性代数系列(二)] 文章目录 1.线性方程组 2.矩阵的概念 3. 对角矩阵 与 单位矩阵 4.矩阵的运算 4.1 矩阵的加法 4.2 矩阵的数乘 4.3 矩阵的乘法 4.4 矩阵的幂 4.5 ...
- 2020年李永乐线性代数强化笔记-行列式与矩阵
2020年李永乐线性代数强化笔记-行列式与矩阵 写在前面:矩阵的秩的知识 在向量那章讲解 若需要,请移步:2020年李永乐线性代数强化笔记-向量 文章目录 1 行列式 2 矩阵 1 行列式 2 矩阵 ...
- 【线性代数】P1 行列式基本概念
二阶三阶行列式 二阶行列式 二阶行列式:两行两列,四个元素,用 aija_{ij}aij 表示,其中 iii 表示行标,jjj 表示列标. 左上角到右下角为主对角线,左下角到右上角为次对角线: 行列 ...
- 三阶行列式的题目_考研数学 | 线性代数中的行列式重难点分析
巧儿姐姐叨一叨 线性代数是考研高数试卷中的一个重要组成部分,大约占整个试卷中22%的比例.据历年的考察情形来看,线代的题型变化不大,比较容易拿分.这样也就要求大家在线性代数的地方一定要把该拿的分拿到! ...
- 矩阵的初等变换与线性方程组【线性代数系列（三）】
矩阵的初等变换与线性方程组[线性代数系列(三)] 文章目录 1.矩阵的初等变换 1.1 初等变换 1.2 等价关系 1.3 初等变换 矩阵类型 1.3.1行阶梯矩阵 1.3.2 行最简型矩阵 1.3. ...
- 线性代数005之行列式展开定理与零值定理
线性代数005之行列式展开定理与零值定理
- 031 矩阵关系专题之等价、相似、合同（线性代数系列结束）
本线性代数系列视频由汤家凤教授全程讲授,在此致谢汤家风老师 的辛勤付出!也预祝各位同学考研成功! 数学功底好的同学的也可以一起来学习大数据!开启大数据人工智能之旅! 031 矩阵关系专题之等价.相似. ...
- Matlab与线性代数 -- 方阵的行列式
这段时间有同学给我后台留言,希望能够推送与Matlab相关的内容,本学期该微信号承担了数理系信息教研室线性代数课程内容推送和通知的任务,想来想去,就以此为契机,把Matlab和线性代数的内容结合起来吧 ...
最新文章
- 软件测试培训需要学习什么
- Android开发之SpannableString具体解释
- Hadoop pipes设计原理
- springboot 配置资源映射路径
- OSCACHE(转)
- java 数据包含_如何高效判断java数组是否包含某个值
- 光学镜头行业发展现状及趋势，智能手机应用领域占比最高
- 拆分:分解单块系统——《微服务设计》读书笔记
- java和jvm_java 和 JVM
- Python | 在列表中指定索引处添加元素的程序
- dplyr | 数据处理函数的功能速查！dplyr包中的十类操作函数汇总（下篇）
- 标志寄存器02 - 零基础入门学习汇编语言55
- lora网关在openwrt上面的移植
- 小妙招：教你如何查询获取企业工商数据
- 正则表达式/Calendar/集合/迭代器
- 论文阅读：Unprocessing Images for Learned Raw Denoising
- 文档管理软件在线编辑和协同
- nginx静态文件缓存
- 2015物联网安全年报
- 快捷键与偏好设置整理