拉格朗日方程的三种推导方法之基于汉密顿原理推导

拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。

哈密顿原理可数学表述为：
δ∫t1t2Ldt=0(1)\delta \int_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{Ldt=0}\tag{1}δ∫t1t2Ldt=0(1)
在等时变分情况下，有：
δq∙=ddt(δq)(2)\delta \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,=\frac{d}{dt}(\delta q)\tag{2}δq∙=dtd(δq)(2)
δ∫t1t2Ldt=∫t1t2(δL)dt=0(3)\delta \int_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{Ldt=\int_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{(\delta L)dt}}=0\tag{3}δ∫t1t2Ldt=∫t1t2(δL)dt=0(3)
由拉格朗日量定义得，在等时变分情况下有
δL=∂L∂q∙δq∙+∂L∂qδq(4)\delta L=\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,}\delta \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,+\frac{\partial L}{\partial q}\delta q\tag{4}δL=∂q∙∂Lδq∙+∂q∂Lδq(4)
其中第一项可化为：
∂L∂q∙δq∙=∂L∂q∙ddt(δq)=ddt(∂L∂q∙∙δq)−ddt(∂L∂q∙)δq(5)\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,}\delta \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,=\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,}\frac{d}{dt}(\delta q)=\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,}\bullet \delta q)-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,})\delta q\tag{5}∂q∙∂Lδq∙=∂q∙∂Ldtd(δq)=dtd(∂q∙∂L∙δq)−dtd(∂q∙∂L)δq(5)
将(5)代入(4)得：
δL=ddt(∂L∂q∙∙δq)−ddt(∂L∂q∙)δq+∂L∂qδq(6)\delta L=\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,}\bullet \delta q)-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,})\delta q+\frac{\partial L}{\partial q}\delta q\tag{6}δL=dtd(∂q∙∂L∙δq)−dtd(∂q∙∂L)δq+∂q∂Lδq(6)
将(6)代入(3)得
(∂L∂q∙∙δq)∣t2t1+∫t1t2(−ddt(∂L∂q∙)δq+∂L∂qδq)dt=0(7)(\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,}\bullet \delta q)\left| _{{{t}_{2}}}^{{{t}_{1}}} \right.+\int_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{(-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,})\delta q+\frac{\partial L}{\partial q}\delta q})dt=0\tag{7}(∂q∙∂L∙δq)∣∣t2t1+∫t1t2(−dtd(∂q∙∂L)δq+∂q∂Lδq)dt=0(7)
在t1,t2{{t}_{1}},{{t}_{2}}t1,t2处δq=0\delta q=0δq=0，所以(7)变为：
∫t1t2(ddt(∂L∂q∙)δq−∂L∂qδq)dt=0(8)\int_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{(\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,})\delta q-\frac{\partial L}{\partial q}\delta q})dt=0\tag{8}∫t1t2(dtd(∂q∙∂L)δq−∂q∂Lδq)dt=0(8)
即
∫t1t2[(−ddt(∂L∂q∙)+∂L∂q)δq]dt=0(9)\int_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{[(-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \overset{\bullet }{\mathop{q}}\,})+\frac{\partial L}{\partial q}})\delta q]dt=0\tag{9}∫t1t2[(−dtd(∂q∙∂L)+∂q∂L)δq]dt=0(9)
q是独立变量，所以得拉格朗日方程：
ddt(∂L∂q˙j)−∂L∂qj=0(10)\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{j}}}=0\tag{10}dtd(∂q˙j∂L)−∂qj∂L=0(10)

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