【线性代数·浅学】（一）行列式——n阶行列式定义，行列式性质，行列式展开定理，拉普拉斯定理，范德蒙德行列式，克拉默法则

2024-06-10 02:05:42

目录

基础定义

n阶行列式的定义

行列式性质

性质推论

行列式展开定理

拉普拉斯定理

公式与法则

上（下）三角行列式

范德蒙德行列式

克拉默法则

基础定义

● 1.n级排列：由自然数1，2，...，n 组成的一个有序数组。

推论：在n级排列中，奇排列与偶排列各占 n!/2

● 2.逆序：大数排在小数的前面

● 3.逆序数：一个排列中逆序的总数

● 4.排列

偶排列：逆序数为偶数

奇排列：逆序数为奇数

标准排列：自然数1,2，...，n按由小到大的排列

n阶行列式的定义

1.按行展开

● 行标取标准排列，列标取所有排列的可能

● 其中该式代表列标的逆序数

2.按列展开

● 列标取标准排列，行标取所有排列的可能

3.随意展开

● 行标和列标都任意取尽排列的所有可能

行列式性质

1.转置行列式，值不变

行列式转置：将每一行和每一列互换

2.互换行列式的两行（列），行列式符号改变

3.行列式某一行（列）的公因子可以提到行列式外

4.行列式的某一行（列）的元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和

5.将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）对应元素上，行列式值不变

性质推论

● 1.两行相等或对应成比例，D = 0

● 2.某一行（列）全为0，D = 0

行列式展开定理

● 余子式：去掉某个元素所在的行列后，剩余的n-1阶行列式

● 代数余子式：余子式*（-1）^（行标+列标）

● 行列式展开公式

降阶
选0多的行或列展开

异乘变零定理：某行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为0

拉普拉斯定理：

在n阶行列式D=|aij| 中，任意取定k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D的值。

● 拉普拉斯定理展开计算量较大，可在某k行0较多的情况下使用，快速降阶

公式与法则

上（下）三角行列式

范德蒙德行列式

克拉默法则

计算量较大，一般不用
两个推论

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