点到直线的距离公式推导

本文地址：blog.lucien.ink/archives/495

摘自点到直线距离公式的几种推导 - 三横先生的文章 - 知乎的三角形面积法，稍作修改并更正书写错误。

起因

今天在 PPT 里看到一个点到超平面的距离公式 d=1∥w∥∣w⋅x0+b∣d = \frac{ 1 }{ \left\| \boldsymbol w \right\| }| \boldsymbol w \cdot \boldsymbol x_0 + \boldsymbol b |d=∥w∥1∣w⋅x0+b∣，看了半天没看懂为什么这样算，遂去问学霸，答曰“平面情况下就是点到直线的距离公式”。

万分惭愧，我连初中数学都忘了。

三角形面积法

直线 lll 方程为 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0Ax+By+C=0，AAA、BBB 均不为 000，点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)P(x0,y0)，设点 PPP 到 lll 的距离为 ddd。

设点 R(xR,y0)R(x_R, y_0)R(xR,y0)，点 S(x0,yS)S(x_0, y_S)S(x0,yS)。

由 R,SR, SR,S 在直线 lll 上，得到

AxR+By0+C=0Ax_R + By_0 + C = 0AxR+By0+C=0Ax0+ByS+C=0Ax_0 + By_S + C = 0Ax0+ByS+C=0

所以

xR=−By0−CAx_R = \frac{ -By_0 - C }{ A }xR=A−By0−CyS=−Ax0−CBy_S = \frac{ -Ax_0 - C }{ B }yS=B−Ax0−C

即

∣PR∣=∣x0−xR∣=∣x0−−By0−CA∣=∣Ax0+By0+CA∣| PR | = | x_0 - x_R | = | x_0 - \frac{ -By_0 - C }{ A } | = | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ A } |∣PR∣=∣x0−xR∣=∣x0−A−By0−C∣=∣AAx0+By0+C∣∣PS∣=∣y0−yS∣=∣y0−−Ax0−CB∣=∣Ax0+By0+CB∣| PS | = | y_0 - y_S | = | y_0 - \frac{ -Ax_0 - C }{ B } | = | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ B } |∣PS∣=∣y0−yS∣=∣y0−B−Ax0−C∣=∣BAx0+By0+C∣

于是

∣RS∣=PR2+PS2=A2+B2AB⋅∣Ax0+By0+C∣| RS | = \sqrt{ { PR }^2 + { PS }^2 } = \frac{ \sqrt{ A^2 + B^2 } }{ AB } \cdot | Ax_0 + By_0 + C |∣RS∣=PR2+PS2=ABA2+B2⋅∣Ax0+By0+C∣

由 ΔPSR\Delta_{PSR}ΔPSR 得

d⋅∣RS∣=∣PR∣⋅∣PS∣d \cdot | RS | = | PR | \cdot | PS |d⋅∣RS∣=∣PR∣⋅∣PS∣

即

d=∣PR∣⋅∣PS∣∣RS∣=∣Ax0+By0+CA∣⋅∣Ax0+By0+CB∣A2+B2AB⋅∣Ax0+By0+C∣=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{ | PR | \cdot | PS | }{ | RS | } = \frac{ | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ A } | \cdot | \frac{ Ax_0 + By_0 + C }{ B } | }{ \frac{ \sqrt{ A^2 + B^2 } }{ AB } \cdot | Ax_0 + By_0 + C | } = \frac{ | Ax_0 + By_0 + C | }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } }d=∣RS∣∣PR∣⋅∣PS∣=ABA2+B2⋅∣Ax0+By0+C∣∣AAx0+By0+C∣⋅∣BAx0+By0+C∣=A2+B2∣Ax0+By0+C∣

另一种形式

设函数 f(x,y)=Ax+By+Cf(x, y) = Ax + By + Cf(x,y)=Ax+By+C，直线 l:Ax+By+C=0l: Ax + By + C = 0l:Ax+By+C=0 的法向量为 v(A,B)\boldsymbol v(A, B)v(A,B)。

则点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)P(x0,y0) 到直线 lll 的距离 ddd 为

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2=f(x0,y0)∥v∥d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + C | }{ \sqrt{ A^2 + B^2 } } = \frac{ f(x_0, y_0) }{ \left\| \boldsymbol v \right\| }d=A2+B2∣Ax0+By0+C∣=∥v∥f(x0,y0)

注：∥v∥\left\| \boldsymbol v \right\|∥v∥ 为向量 v\boldsymbol vv 的 2-范数