点到直线的距离公式和平行线的距离公式

点到直线的距离公式

已知一个点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)和直线 l : A x + B y + C = 0 l:Ax+By+C=0 l:Ax+By+C=0，求点 P P P到直线的距离。

过 P P P作 l l l的垂线 P Q PQ PQ较直线 l l l于点 Q Q Q

设 A ≠ 0 , B ≠ 0 A\neq 0,B\neq 0 A=0,B=0，因为 P Q ⊥ l PQ\bot l PQ⊥l，直线 l l l的斜率为 − A B -\dfrac AB −BA，所以直线 P Q PQ PQ的斜率为 B A \dfrac BA AB。因此，直线 P Q PQ PQ的方程为 y − y 0 = B A ( x − x 0 ) y-y_0=\dfrac BA(x-x_0) y−y0=AB(x−x0)，即 B x − A y = B x 0 − A y 0 Bx-Ay=Bx_0-Ay_0 Bx−Ay=Bx0−Ay0

求交点坐标，解方程组

{ A x + B y + C = 0 B x − A y − B x 0 − A y 0 = 0 \left\{\begin{matrix} Ax+By+C=0\qquad\qquad \\ Bx-Ay-Bx_0-Ay_0=0 \ \end{matrix}\right. {Ax+By+C=0Bx−Ay−Bx0−Ay0=0

得直线 l l l与 P Q PQ PQ的交点坐标，即 Q Q Q的坐标为

( B 2 x 0 − A B y 0 − A C A 2 + B 2 , A 2 y 0 − A B x 0 − B C A 2 + B 2 ) (\dfrac{B^2x_0-ABy_0-AC}{A^2+B^2},\dfrac{A^2y_0-ABx_0-BC}{A^2+B^2}) (A2+B2B2x0−ABy0−AC,A2+B2A2y0−ABx0−BC)

由两点间距离公式得

P Q = ( B 2 x 0 − A B y 0 − A C A 2 + B 2 − x 0 ) 2 + ( A 2 y 0 − A B x 0 − B C A 2 + B 2 − y 0 ) 2 PQ=\sqrt{(\dfrac{B^2x_0-ABy_0-AC}{A^2+B^2}-x_0)^2+(\dfrac{A^2y_0-ABx_0-BC}{A^2+B^2}-y_0)^2} PQ=(A2+B2B2x0−ABy0−AC−x0)2+(A2+B2A2y0−ABx0−BC−y0)2

= ( − A 2 x 0 − A B y 0 − A C A 2 + B 2 ) 2 + ( − A B x 0 − B 2 y 0 − B C A 2 + B 2 ) 2 \qquad =\sqrt{(\dfrac{-A^2x_0-ABy_0-AC}{A^2+B^2})^2+(\dfrac{-ABx_0-B^2y_0-BC}{A^2+B^2})^2} =(A2+B2−A2x0−ABy0−AC)2+(A2+B2−ABx0−B2y0−BC)2

= [ A ( − A x 0 − B y 0 − C ) A 2 + B 2 ] 2 + [ B ( − A x 0 − B y 0 − C ) A 2 + B 2 ] 2 \qquad =\sqrt{[\dfrac{A(-Ax_0-By_0-C)}{A^2+B^2}]^2+[\dfrac{B(-Ax_0-By_0-C)}{A^2+B^2}]^2} =[A2+B2A(−Ax0−By0−C)]2+[A2+B2B(−Ax0−By0−C)]2

= A 2 ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( A 2 + B 2 ) 2 + B 2 ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 ( A 2 + B 2 ) 2 \qquad =\sqrt{\dfrac{A^2(Ax_0+By_0+C)^2}{(A^2+B^2)^2}+\dfrac{B^2(Ax_0+By_0+C)^2}{(A^2+B^2)^2}} =(A2+B2)2A2(Ax0+By0+C)2+(A2+B2)2B2(Ax0+By0+C)2

= ( A x 0 + B y 0 + C ) 2 A 2 + B 2 \qquad =\sqrt{\dfrac{(Ax_0+By_0+C)^2}{A^2+B^2}} =A2+B2(Ax0+By0+C)2

= ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ A 2 + B 2 \qquad =\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} =A2+B2 ∣Ax0+By0+C∣

所以，点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)到直线 l : A x + B y + C = 0 l:Ax+By+C=0 l:Ax+By+C=0的距离

d = ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ A 2 + B 2 d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} d=A2+B2 ∣Ax0+By0+C∣

若 A = 0 A=0 A=0或 B = 0 B=0 B=0，上式仍然成立。

平行线的距离公式

已知两条平行线 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2， l 1 : A x + B y + C 1 = 0 l_1:Ax+By+C_1=0 l1:Ax+By+C1=0， l 2 : A x + B y + C 2 = 0 l_2:Ax+By+C_2=0 l2:Ax+By+C2=0，求平行线 l 1 , l 2 l1,l2 l1,l2的距离。

平行线 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2的距离，即 l 1 l_1 l1上任意一点到直线 l 2 l_2 l2的距离。我们可以取 l 1 l_1 l1上任意一点，用点到直线的距离公式来求解。

取 l 1 l_1 l1上一点 ( 0 , − C 1 B ) (0,-\dfrac{C_1}{B}) (0,−BC1)， l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2的距离即为该点到 l 2 l_2 l2的距离。

d = ∣ A x 0 + B y 0 + C 2 ∣ A 2 + B 2 = ∣ C 1 − C 2 ∣ A 2 + B 2 d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\dfrac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}} d=A2+B2 ∣Ax0+By0+C2∣=A2+B2 ∣C1−C2∣

所以平行线 l 1 , l 2 l1,l2 l1,l2的距离

d = ∣ C 1 − C 2 ∣ A 2 + B 2 d=\dfrac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}} d=A2+B2 ∣C1−C2∣

注意在使用这个公式时，要先将两平行线的 A , B A,B A,B值变为相等。