线性代数Python计算：矩阵对角化

线性变换TTT的矩阵A∈Pn×n\boldsymbol{A}\in P^{n\times n}A∈Pn×n的对角化，即寻求对角阵Λ\boldsymbol{\Lambda}Λ，使得A\boldsymbol{A}A~Λ\boldsymbol{\Lambda}Λ，需分几步走：
(1)解方程det⁡(λI−A)=0\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=0det(λI−A)=0，得根
λ1,λ2,⋯,λk∈P\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k\in Pλ1,λ2,⋯,λk∈P
为A\boldsymbol{A}A的特征值；
(2)对每一个特征值λi\lambda_iλi，解齐次线性方程组(λiI−A)x=o(\lambda_i\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{o}(λiI−A)x=o，得基础解系αi1,αi2,⋯,αini\boldsymbol{\alpha}_{i1},\boldsymbol{\alpha}_{i2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{in_i}αi1,αi2,⋯,αini，i=1,2,⋯,ki=1,2,\cdots,ki=1,2,⋯,k；
(3)若n1+n2+⋯+nk=nn_1+n_2+\cdots+n_k=nn1+n2+⋯+nk=n，则
Λ=diag(λ1,⋯,λ1⏟n1,⋯,λk,⋯,λk⏟nk)\boldsymbol{\Lambda}=\text{diag}(\underbrace{\lambda_1,\cdots,\lambda_1}_{n_1},\cdots,\underbrace{\lambda_k,\cdots,\lambda_k}_{n_k})Λ=diag(n1λ1,⋯,λ1,⋯,nkλk,⋯,λk)
A\boldsymbol{A}A~Λ\boldsymbol{\Lambda}Λ。即TTT在基α11,⋯,α1n1,⋯,αk1,⋯,αkn1\boldsymbol{\alpha}_{11},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{1n_1},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{k1},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{kn_1}α11,⋯,α1n1,⋯,αk1,⋯,αkn1下的矩阵为Λ\boldsymbol{\Lambda}Λ。
numpy.linalg提供了函数eigvals用来计算方阵的特征值，其调用接口为
eigvals(A)\text{eigvals(A)}eigvals(A)
参数A表示方阵A\boldsymbol{A}A。返回值为A\boldsymbol{A}A的nnn个根（包括重根）。需要提起注意的是，此处返回的根有可能是复数。对函数eigvals算出A\boldsymbol{A}A的每个ℝ中的特征值λ\lambdaλ，调用博文《线性方程组的通解》中定义的mySolve函数，计算(λI−A)x=o(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{o}(λI−A)x=o的基础解系，记为属于λ\lambdaλ的线性无关的特征向量。把属于各不同特征值的特征向量按序排列，若这些向量的总数恰为nnn，则构成向量空间的一个基底，且各特征值（包括重复值）构成的对角阵就是TTT在这个基下的矩阵。
例1 用Python计算矩阵A=(122212221)∈\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}\inA=⎝⎛122212221⎠⎞∈ℝ3×3^{3\times3}3×3的对角化。

import numpy as np                               #导入numpy
from fractions import Fraction as F                 #导入Fraction
np.set_printoptions(formatter=                      #设置输出数据格式{'all':lambda x:str(F(x).limit_denominator())})
A=np.array([[1,2,2],                               #设置矩阵[2,1,2],[2,2,1]],dtype='float')
n,_=A.shape                                        #A的阶数
w=np.linalg.eigvals(A)                             #A的特征值
Lambda=np.diag(np.sort(w))                         #对角阵
v=np.unique(np.round(w,decimals=10))              #特征值唯一化
I=np.eye(n)                                        #单位阵
o=np.zeros((n,1))                                  #零向量
lam=v[0]                                           #第1个特征值
P=(mySolve(lam*I-A,o))[:,1:]                       #属于第1个特征值的特征向量
for lam in v[1:]:                                   #其余个特征值X=mySolve(lam*I-A,o)                            #属于特征值的特征向量P=np.hstack((P,X[:,1:n]))
print('对角阵：')
print(Lambda)
print('基：')
print(P)

程序的第5~7行设置矩阵A\boldsymbol{A}A的数据为A。第8行读取A\boldsymbol{A}A的阶数为n。第9行调用numpy.linalg的eigvals函数计算A\boldsymbol{A}A的nnn个特征值存于w。第10行调用numpy的diag函数用w按升序排列的nnn个值构造对角阵Lambda。第11行调用numpy的unique函数将w中的nnn个特征值删掉重复，仅保留不同值。即det⁡(λI−A)=0\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=0det(λI−A)=0的所有重根仅算一个。得到的各不相同的特征值按升序存于v。注意，w中存储的A\boldsymbol{A}A的特征值都是浮点型的，为能确定重根，需限制精度。np.round(w,decimals=10)调用numpy的round函数将w中的值限制有效位数为10。第12行设置nnn阶单位阵I，第13行设置nnn-维零向量o。第14行读取第1个特征值λ1\lambda_1λ1为lam，第15行调用mySolve函数（见程序3.6中定义，第2行导入）解齐次线性方程组(λ1I−A)=o(\lambda_1\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=\boldsymbol{o}(λ1I−A)=o，将所得基础解系（存于返回值的第2列起的各列）置于P中。第16~18行的for循环将其余各特征值所属特征向量依次置于P后，最终得到对角化后的基底。运行程序，输出

对角阵：
[[-1  0 0][ 0 -1 0][ 0  0 5]]
基：
[[-1 -1 1][ 1  0 1][ 0  1 1]]

即A=(122212221)∈\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}\inA=⎝⎛122212221⎠⎞∈ℝ3×3^{3\times3}3×3在基α1=(−110),α2=(−101)\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix},\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}α1=⎝⎛−110⎠⎞,α2=⎝⎛−101⎠⎞和α3=(111)\boldsymbol{\alpha}_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}α3=⎝⎛111⎠⎞下对角化为Λ=(−1000−10005)\boldsymbol{\Lambda}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&5\end{pmatrix}Λ=⎝⎛−1000−10005⎠⎞。
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