二进制的应用——枚举子集

集合是指由一个或多个确定的元素所构成的整体，也可以当作不分顺序的数组
当集合中不包含任何元素时，我们称它为空集
我们一般用大括号及期中若干元素表示一个集合，例如1,3,5{1,3,5}1,3,5表示包含元素1,3,5的一个集合，a,x,abc{a,x,abc}a,x,abc表示包含三个字符串元素的集合
在集合的元素中没有先后顺序，例如集合1,2,3{1,2,3}1,2,3和{3,1,2}是等价的
在集合中，有一些集合间的关系，我们这种送会用到一个关系是子集，我们说集合A是集合B的子集，表示A钟所有元素都在B中出现（A集合可以是空集）
例如，对于{1,2,3,4,5},{1,3,5}、{2,5}、{4}都是它的子集，而{1,4,6}不是它的子集
一个长度为n的集合，一共有2n22n^22n2个子集
对于集合A，可以用一个二进制数来表示集合A的某个子集B。我们用二进制的每一位表示集合A中的每个元素是否在子集B中出现，1表示出现，0表示未出现
对于集合{0,1,2,3,4,5,6}那么二进制(0101101)2(0101101)_2(0101101)2就表示子集{0,2,3,5}

二进制数位	6	5	4	3	2	1	0
{二进制数值	0	1	0	1	1	0	1
选取的元素	-	5	-	3	2	-	0

当然，我们还有各种各样的方法来表示子集，但由于计算机内部位运算的便捷性，我们通常借助二进制和位运算完成集合的表示和运算。

例题1：得到整数X

对于 n 个互不相同的正整数，要从这 n 个正整数之中无重复地选取任意个数，使得选出的数的总和为 X。现在你需要求出一共有多少种不同的选取。
对于这道题，我们就可以先枚举这n个数组成的集合的子集，把所有可能的二进制一次枚举，然后根据枚举的二进制对应的子集，从而求出该子集中所有元素的和：
1<<n表示2n2^n2n
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 2: i&̲(1<<j)表示i中的第j位是否为1

#include <iostream>
using namespace std;int main() {int n, x, ans = 0, a[30];cin >> n >> x;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> a[i];}for(int i=0;i<(1<<n);i++){int num=0;for(int j=0;j<n;j++){if(i&(1<<j)){num+=a[j];}}if(num==x){ans++;}}cout<<ans<<endl;return 0;
}

例题2：李白打酒

话说大诗人李白，一生好饮。
一天，他提着酒壶，从家里出来，酒壶中有酒两斗。他边走边唱：

无事街上走，提壶去打酒。
逢店加一倍，遇花喝一斗。
这一路上，他一共遇到店 55 次，遇到花 1010 次，已知最后一次遇到的是花，他正好把酒喝光了。请你计算李白有多少种满足要求的遇到店和花的可能情况。

我们已知遇到点5次，遇到花100次，并且最后一次遇到花，正好把酒喝光。我们可以用01串来表示李白一次遇到的是店还是花，用1表示店，用0表示花。
因为已经确定最后一次遇到的是花，所有我们只需要枚举前14次分别是店还是花，根据枚举出的14位01串，判断是否确保刚好有5个1和9个0，并且最后刚好剩一斗酒

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {int ans = 0;for (int i = 0; i < (1 << 14); ++i) {int tot_1 = 0;int tot_0 = 0;int num = 2;for(int j=0;j<14;j++){if(i&(1<<j)){tot_1++;num=num*2;}else{tot_0++;num=num-1;}}if(tot_1==5 && tot_0==9 && num==1){ans++;}}cout << ans << endl;return 0;
}