20200726 T3 树高【ETT(dfs序splay)维护同色边连通块】

题目描述

n,m≤105n,m\le10^5n,m≤105，点的颜色范围为 [1,30][1,30][1,30]

题目分析

LCT可以维护黑白两色，黑点向父亲连边，实际连通块去掉根。但是整个连通块同时变色就不好整了。

用ETT（就是dfs序splay）维护边连通块，这样改变颜色的时候只会改变这条边与上下的连通性。用ETT是因为可以支持快速换子树，因为同一子树关键字是连续的。

初始时看做同一种颜色，按dfs序建树，splay点标对应原树点标。

一个边连通块为一棵以dfs序为关键字的 splay。

上图中同一种颜色的箭头指向的节点在同一棵 splay 中。

（link cut 之后实际上不同子树之间不一定是按原树dfs序排的，但是同一子树的关键字一定是连续的）

描述一下怎么操作（盯std盯了2h…）：

查询 xxx

x=getroot(x)x=getroot(x)x=getroot(x)

getroot(x)getroot(x)getroot(x) 是找到 xxx 所在边连通块的顶端，先找到 xxx splay 中关键字最小的节点（一定是同层的某个同颜色顶端），得到 xxx 与它的顶端的深度差，然后倍增往上跳。

上图中 getroot(3)=2getroot(3)=2getroot(3)=2

rest=split(x)rest=split(x)rest=split(x)

split(x)split(x)split(x) 是将 xxx 原树子树的边连通块与它所在的大连通块分离，返回值为分离之后的大连通块的 splay 的根。为了找到 xxx 原树子树后面的关键字最小的点，平衡树中需要存 ST,EDST,EDST,ED 表示子树中 dfsdfsdfs 序的最小值和最大值。

上图中 split(2)=5split(2)=5split(2)=5

printf(col[x],siz[x],mx[x]−dep[x]+1)printf(col[x],siz[x],mx[x]-dep[x]+1)printf(col[x],siz[x],mx[x]−dep[x]+1)

mx[x]mx[x]mx[x] 是 splay 维护的子树中的最大深度。

if(rest≠−1)merge0(rest,x)if(rest\neq-1)~merge_0(rest,x)if(rest=−1) merge0(rest,x)

merge0(x,y)merge_0(x,y)merge0(x,y) 是将同层的两个同色边连通块合并。

改变 xxx 的颜色为 ccc

首先 splay(x,0)splay(x,0)splay(x,0)，因为要把上面的标记传下来，才知道 xxx 的 colorcolorcolor

if(col[x]==c)return;if(col[x]==c)~return;if(col[x]==c) return;

先分离出 xxx，rest=split(x)rest=split(x)rest=split(x)

if(siz[x]>1)if(siz[x]>1)if(siz[x]>1) 断掉 xxx 的后继与 xxx 的连边（xxx 不再与它

们同色），并更新 son[x][col[x]]son[x][col[x]]son[x][col[x]] 为它的后继。

son[x][c]son[x][c]son[x][c] 记录树上 xxx 这个点接的颜色为 ccc 的边连通块中 xxx 的某个儿子。为了合并连通块时快速查找。还需要维护 s[x]s[x]s[x] ，二进制第 ccc 位表示 son[x][c]son[x][c]son[x][c] 是否为 1，以及 S[x]S[x]S[x] 表示 splay 子树中 sss 的或。son[x][c]son[x][c]son[x][c] 只维护虚儿子，即不与 xxx 颜色相同的 ccc 处有值，因为同色的没有用，而且整个连通块变色的时候还要额外维护清零标记。

然后考虑合并 xxx 与下面的连通块：if(son[x][c])merge1(x,son[x][c])if(son[x][c])~merge_1(x,son[x][c])if(son[x][c]) merge1(x,son[x][c])

merge1(x,y)merge_1(x,y)merge1(x,y) 是将不同层（父子关系）的边连通块合并。

然后将 son[x][c]son[x][c]son[x][c] 清零，s[x]s[x]s[x] 去掉第 ccc 位。（注意这些修改都要在 xxx 为根的情况下做）

然后是 xxx 与上面的连通块：f=fa[x]f=fa[x]f=fa[x]

splay(f,0)splay(f,0)splay(f,0)

if(col[f]≠col[x])if(col[f]\neq col[x])if(col[f]=col[x]) 更改 son[f][col[x]]son[f][col[x]]son[f][col[x]] 为 restrestrest 。分 restrestrest 是否为 −1-1−1 讨论。

if(col[f]≠c)if(col[f]\neq c)if(col[f]=c) 将 xxx 与 son[f][c]son[f][c]son[f][c] 合并。分 son[f][c]son[f][c]son[f][c] 的有无讨论。

elseelseelse 合并 f,xf,xf,x

改变 xxx 同色连通块的颜色为 ccc

x=getroot(x)x=getroot(x)x=getroot(x)，如果颜色不用改直接 return。

rest=split(x)rest=split(x)rest=split(x)

给 xxx 打上颜色 ccc 的标记。

travel(x,c)travel(x,c)travel(x,c)：找到 xxx 边连通块下方颜色为 ccc 的点与其对应的父亲，根据 S[x]S[x]S[x] 确定是否进子树，根据 son[x][c]son[x][c]son[x][c] 确定。

找完之后依次将找到的连通块与 xxx 合并。合并的总次数是 O(n+m)O(n+m)O(n+m) 的。

与 xxx 父亲的连通块的修改情况与单点修改一模一样。

呼~~~（描述完操作过了40min…）

尽管看起来很繁琐，实际上实现还要更繁琐，但是看了2h代码之后思路还是比较明了的。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,m,F[17][maxn],dep[maxn],st[maxn],ed[maxn],ln[maxn],tim;
int col[maxn],son[maxn][30];
vector<pair<int,int>>vec;
namespace ETT{int fa[maxn],ch[maxn][2],mx[maxn],ST[maxn],ED[maxn];int S[maxn],s[maxn],tag[maxn],siz[maxn];bool isc(int x){return ch[fa[x]][1]==x;}void upd(int x){siz[x]=siz[ch[x][0]]+siz[ch[x][1]]+1;mx[x]=max(dep[x],max(mx[ch[x][0]],mx[ch[x][1]]));ST[x]=min(st[x],min(ST[ch[x][0]],ST[ch[x][1]]));ED[x]=max(ed[x],max(ED[ch[x][0]],ED[ch[x][1]]));S[x]=s[x]|S[ch[x][0]]|S[ch[x][1]];}void paint(int x,int c){if(x) col[x]=c,tag[x]=c;}void pd(int x){if(~tag[x]) paint(ch[x][0],tag[x]),paint(ch[x][1],tag[x]),tag[x]=-1;}void pdpath(int x){if(fa[x]) pdpath(fa[x]); pd(x);}void rot(int x){int y=fa[x],z=fa[y],c=isc(x);if(z) ch[z][isc(y)]=x;fa[ch[y][c]=ch[x][!c]]=y, fa[ch[x][!c]=y]=x, fa[x]=z;upd(y);}void splay(int x,int goal=0){for(pdpath(x);fa[x]!=goal;rot(x))if(fa[fa[x]]!=goal) rot(isc(x)==isc(fa[x])?fa[x]:x);upd(x);}int findL(int x){while(ch[x][0]) x=ch[x][0]; return x;}int findR(int x){while(ch[x][1]) x=ch[x][1]; return x;}int Next(int x,int l,int r){if(!x) return 0;if(ST[ch[x][0]]<l||ED[ch[x][0]]>r) return Next(ch[x][0],l,r);if(st[x]<l||ed[x]>r) return x;return Next(ch[x][1],l,r);}int split(int x){int l=findR(ch[x][0]),r=Next(ch[x][1],st[x],ed[x]),rt;if(!l&&!r) rt=0;else if(!r) splay(l),fa[ch[l][1]]=0,ch[l][1]=0,upd(rt=l);else if(!l) splay(r),fa[ch[r][0]]=0,ch[r][0]=0,upd(rt=r);else splay(l),splay(r,l),fa[ch[r][0]]=0,ch[r][0]=0,upd(r),upd(rt=l);return splay(x),rt;}void merge0(int x,int y){splay(x),splay(x=findL(x)),splay(y),fa[ch[x][0]=y]=x,upd(x);}void merge1(int f,int x){splay(f),splay(x);if(ch[f][1]) splay(findL(ch[f][1]),f),fa[ch[ch[f][1]][0]=x]=ch[f][1],upd(ch[f][1]),upd(f);else fa[ch[f][1]=x]=f,upd(f);}void travel(int x,int c){if(son[x][c]) vec.push_back(make_pair(x,son[x][c])),son[x][c]=0,s[x]^=1<<c;if(S[ch[x][0]]>>c&1) travel(ch[x][0],c);if(S[ch[x][1]]>>c&1) travel(ch[x][1],c);upd(x);}int build(int l,int r,int ff){if(l>r) return 0;int mid=(l+r)>>1,i=ln[mid];fa[i]=ff,tag[i]=-1;if(l==r) return upd(i),i;ch[i][0]=build(l,mid-1,i),ch[i][1]=build(mid+1,r,i);return upd(i),i;}
}
using namespace ETT;
int fir[maxn],nxt[maxn];
void line(int x,int y){nxt[y]=fir[x],fir[x]=y;}
void dfs(int u){ln[st[u]=++tim]=u;for(int v=fir[u];v;v=nxt[v]) dep[v]=dep[u]+1,dfs(v);ed[u]=tim;
}
int getroot(int x){splay(x); int r=findL(x);for(int i=0,d=dep[x]-dep[r];d;d>>=1,i++) if(d&1) x=F[i][x];return splay(x),x;
}
void solve1(int x,int c){splay(x,0);int y=col[x]; if(y==c) return;int rest=split(x);if(siz[x]>1){//断掉 $x$ 的后继与 $x$ 的连边son[x][y]=findL(ch[x][1]),s[x]^=1<<y;fa[ch[x][1]]=0,ch[x][1]=0;upd(x),splay(son[x][y]);}col[x]=c;if(son[x][c]) merge1(x,son[x][c]),splay(x),son[x][c]=0,s[x]^=1<<c,upd(x);if(x!=1){int f=F[0][x];splay(f);if(col[f]!=y){if(!rest) son[f][y]=0,s[f]^=1<<y,upd(f);else splay(son[f][y]=findL(rest));}if(col[f]!=c){if(son[f][c]) merge0(x,son[f][c]);else son[f][c]=x,s[f]^=1<<c,upd(f);}else merge1(f,x);}
}
void solve2(int x,int c){x=getroot(x);int y=col[x]; if(y==c) return;int rest=split(x);paint(x,c);vec.clear(),travel(x,c);
//  for(int i=0;i<vec.size();i++) cout<<vec[i].first<<' '<<vec[i].second<<endl;for(int i=0;i<vec.size();i++) merge1(vec[i].first,vec[i].second);if(x!=1){int f=F[0][x];splay(f);if(col[f]!=y){//certainly.if(!rest) son[f][y]=0,s[f]^=1<<y,upd(f);else splay(son[f][y]=findL(rest));}if(col[f]!=c){if(son[f][c]) merge0(x,son[f][c]);else son[f][c]=x,s[f]^=1<<c,upd(f);}else merge1(f,x);}
}
void solve3(int x){x=getroot(x);int rest=split(x);printf("%d %d %d\n",col[x]+1,siz[x],mx[x]-dep[x]+1);if(rest) col[F[0][x]]==col[x]?merge1(F[0][x],x):merge0(rest,x);
}
int main()
{freopen("tree.in","r",stdin);freopen("tree.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for(int i=2,x;i<=n;i++) scanf("%d",&x),line(x,i),F[0][i]=x;for(int j=1;j<=16;j++) for(int i=1;i<=n;i++) F[j][i]=F[j-1][F[j-1][i]];dfs(1);ST[0]=1e9,col[0]=30,build(1,tim,0);for(int i=1,x;i<=n;i++) scanf("%d",&x),solve1(i,x-1);scanf("%d",&m);for(int op,x,y;m--;){scanf("%d%d",&op,&x);if(op==3) solve3(x);else scanf("%d",&y),y--,op==1?solve1(x,y):solve2(x,y);}
}