（一）1.考研数一高数之函数及其性质

1.求导使得奇偶性互换，周期性不变
例题：
2.奇偶性的环节：
1.条件：必须满足定义域关于原点对称
2.基本类型：

1.f(x) + f(-x)  偶函数
2.f(x) - f(-x)  奇函数
3.复合函数：F(x) = f(g(x)) ⇒  f 奇 g 奇 ，则 F 奇：F(-x) = f (g(-x)) = f(-g(x)) = -f(g(x))f 偶 g 奇 ，则 F 偶：F(-x) = f(g(-x)) = f(g(x))f 奇 g 偶 ，则 F 偶：...易推f 偶 g 偶 ，则 F 偶：...易推
4.f 奇  f' 偶  f''奇 ......f 奇  ∫0->x f(t)dt 偶前面说的 求导奇偶性互换
5.特殊的函数：奇函数ln(x+√(1+x^2))  导数：1/√(1+x^2
6.f是连续函数：如果f(x + y) = f(x) + f(y)，则f(x)是奇函数

6.的证明
一：令 y =0 ，则 f(x) = f(x) + f(0), => f(0) =0
二：令 y = -x，则f(0) =f(x) +f(-x)
则为奇函数，得证。

3.奇偶函数的应用

1.奇函数的积分为0（要求积分从-a到 a）

当f或g为奇函数时，f(t)g(t)为奇函数 ==》∫(-a->a)f(t)g(t)dt = 0
这里的f(x)和g(x) 就可能出需要用上面很多方法计算的函数形式

eg:
这里第一个：用到我们的特殊奇函数ln(…)和奇(偶)得偶的复合函数
第二个：用到[奇(偶)得偶的复合函数]积分奇偶性互换和普通偶函数

下面问题假设f(x)满足我们的 6.
则f(x)奇函数，前面是一个普通偶函数，得到积分为0

2.平移形式：

f(x)是偶函数：f(0 + x) = f(0 - x)
平移T： f(T+x) = f(T - x)

看个例题
此题很简单，根据条件得到关于x=1对称，0->2的积分为0.6，又正好关于1对称，则得到答案=1-0.6 /2 = 0.2

f(x)是奇函数：关于( 0 , 0 ) 对称
平移T： 关于( T , 0 )对称

这个可以结合前面的奇函数积分为0(条件…)，从而求解积分问题

由此说明，遇到某函数的平移量的积分问题，考虑一下是不是可以用这个方法轻松解决

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