概率论-1.4 条件概率(重点:对P(A | B)、P(AB)、P(B)之间关系的理解)

条件概率的定义：
是指在某事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A | B)
条件概率：设A与B是样本空间中的两事件，若P(B)>0，则在B发生的下A发生的条件概率为P(A | B)= P(AB) / P(B)
P(B)：事件B发生的概率
P(AB)：事件A，B同时发生的概率=事件A发生的概率事件A的发生下事件B发生的概率=事件B发生的概率事件B的发生下事件B发生的概率

若事件域上A1,A2,…,An,…互不相容且P(B)>0，则有P(U Ai | B)= Sum(P(AB)) / P(B)
证法一：
P(U Ai | B)= P(U (AiB)) / P(B)
因为Ai之间互不相容，于是有(Ai交B) 交 (Aj交B)=空集
又可列可加性得P(U Ai | B)= P(U (AiB)) / P(B)= Sum(P(AB)) / P(B)

证法二：
因为Ai之间互不相容，Ai | B与Aj | B互不相容（互不相容的事件在任何条件下都互不相容）
由可列可加性得P(U Ai | B)= P(U (AiB)) / P(B)= Sum(P(AB)) / P(B)

乘法公式：
P(A1A2A3…A(n-1))>0，则P(A1A2A3…An)= P(A1)* P(A1 | A2)* P(A1A2 | A3)… P(An | A1A2A3…A(n-1))
证明
P(A1A2A3…A(n-1))>0推出A1,A2,…,A(n-1)事件概率>0(单个事件发生的概率大于等于它们同时发生的概率)
再由条件概率公式可证明上面结论

全概率公式：
B1,B2,…,Bn不互相容且交为样本空间，
则有P(A)=U P(ABi)
证明
由可列可加性得
P(A)=U P(ABi)= P(U ABi)= P(A(U Bi))=P(A)

B1,B2,…,Bn不互相容且交包含A，
则有P(A)=U P(ABi)
证明
由可列可加性得
P(A)=U P(ABi)= P(U ABi)= P(A(U Bi))=P(AB)
又因为B包含A
于是有P(A)=P(AB)=P(A)

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