《程序员的数学》第二册 (概率统计)
《程序员的数学》第二册 (概率统计)
- 《程序员的数学》第二册 (概率统计)
- 概率的定义
- 概率的数学定义
- 三扇门(蒙提霍尔问题)一一飞艇视角
- 蒙提霍尔问题
- 正确答案与常见错误
- 以飞艇视角表述
- 三元组( 0 ,F, P )一一上帝视角
- 随机变量
- 概率分布
- 适于实际使用的简记方式
- 多个随机变量之间的关系
- 面积计算的预热
- 联合概率与边缘概率
- 条件概率
- 贝叶斯公式
- 独立性
- 离散值的概率分布
- 一些简单的例子
- 二项分布
- 期望值
- 方差与标准差
- 大数定律
- 补充内容:条件期望与最小二乘法
- 连续值的概率分布
- 协方差矩阵、多元正态分布与椭圆
- 估计与检验
- 伪随机数
- 概率论的各类应用
《程序员的数学》第二册 (概率统计)
概率的定义
概率的数学定义
三扇门(蒙提霍尔问题)一一飞艇视角
蒙提霍尔问题
正确答案与常见错误
以飞艇视角表述
三元组( 0 ,F, P )一一上帝视角
随机变量
1.3节已 经构建了舞台 。 接下来,我们讨论一下如何在这一舞台上表现随机量,并整理 之前出现过却还没有详细讲解的内容 。
这种随机量称为随机变量 。 通俗来讲,它是一种会随机改变的不确定量 。 不过,如图1.6
所示,我们现在处于上帝视角 。 该视角下,我们可以俯瞰由"所有平行世界"组成的集合。 。其中每个世界 ω 中的事件都己确定,只是根据剧本表演而已 。
概率分布
适于实际使用的简记方式
通过方程式表述概率对格式的要求较高,如果读者不习惯这种写法,在书写时或许会 有些困难 。 因此,我们经常会使用一些便于书写的简记 。 本节将介绍一些常用的简记方式 。 熟悉之后,阅读简记也并非难事,不过对初学者来说,这些简记可能会引起混乱 。 因此,如果读者在阅读时感到有些困惑,即使老师也使用简记表述概率,也请先改用原本的表示方 法以避免误解 。
多个随机变量之间的关系
对于现代的概率统计来说,分析多个随机变量之间的相互关系是一个关键 。 “包含‘免费’ 这一单词的 邮件很可能是广告”"在星期五购买一次性纸尿布的顾客很可能也会买啤酒"这类 观点是否很耳熟?为了讨论这类问题,我们必须分析多个随机变量之间的相互关系 。
幸运的是,我 们已经有了上帝视角这一强有力的工具 。请读者充分利用上帝视角,自信地处理 "随机变量之间的相互关系 "。 我们的目标是首先要理解联合概率、边缘概率与条件概率这 三个概念 。它们是讨论随机变量之间关系的基本道具 。 最近活跃于各领域的贝叶斯 公式也是这组概念的-种应用 。 此外 ,独立性的定义也基于这组概念 。在日常的概率问题中 ,我们在使用独立性时无需特地声明,不过由于本书的要求更高 ,因此必须明确定义独立性的含义 。在分析随机变量之间的关系时,某一变量是否独立往往是解决问题的关键 。
不过,为避免引人一些无关的复杂情况,本章将不涉及连续的随机变量(第4章将对此作具体说明)。
面积计算的预热
如果直接分析随机变量的相互关系,我们很可能找不到头绪 。 因此,我们将采用与上 一章同样的策略,将概率问题转换为面积问题。 经过这种转换后 , 我们需要做的就仅仅是 单纯的数学计算。 让我们暂时放下概率问题, 先考虑这些容易理解的数学计算吧。 本节讲 解的只是一些简单的算术题,读者只需快速通读即可。 从2.2节起,我们将从概率问题的角 度重新解释这些问题 。
联合概率与边缘概率
条件概率
贝叶斯公式
本节将应用条件概率来解决逆问题 。 简单来讲,逆问题是指那些需要从结果反推原因 的问题1。 通常,原因 X无法被直接观察、测量,此时,我们常会通过其结果 Y来反推原因 X。
很多工程问题都可以通过这种方式解释 2。
独立性
本章将继续讨论多个随机变量之间的关系 。 2,3节的条件概率可以理解为在得知 X 后, 对 Y 的出现概率的预测 。 2.4节介绍的贝叶斯公式是相应的逆运算,它将根据 X → Y 的情况 (与 X 的先验概率分布),由 Y逆推 X 的值。
现在,我们 重新开始讨论更为根本的 问题 。 如果问题中存在多个随机变量,我们首先 会怀疑这些随机变量之间是否真的存在关联。 这一独立性的概念是很多应用问题中的关键。
·如果 X 与 Y无关,由 X椎 Y就没有意义。 此时 , Y与独立的 X 没有特别的含义。
离散值的概率分布
我们首先来讨论概率论的基本问题,此时随机变量的可取值种类可数(即附录 A.3.2介 绍的至多可数的情况)。 本章将重点讲解期望值 、 方差与大数定律 。 在正式介绍这些内容前, 我们需要先大致了解二项分布这种基本分布 。
简单来讲,对于取值不定的随机值,将其可能的平均取值称为期望值,值的分散情况 称为方差 。 大数定律表明"大量随机值的平均值趋于期望值",是处理随机数据的基本定理 。 二项分布则常见于 "20例中15例得到了改善"之类的问题。
一些简单的例子
二项分布
特殊的概率分布通常会以专门的名称表示。其中,二项分布是一种基本的类型 。 本书 第 6章将反复用到这种分布 。
期望值
方差与标准差
3.3节引入了期望值的概念,它是用于描述分布性质的最重要的指标 。 现在,我们继续引人第二类指标一一 方差与标准差 。
可以看到,随机变量的数量越多,它们的平均值就越趋于稳定,在分析处理随机变量时, 这是一条非常重要的性质 。 读者在日常生活中或许也会意识到这种性质 。 本节将通过概率 的方式来验证这一性质 。
大数定律
人们在研究与实践中发现,尽管每个随机变 量 取值随机,大量随机变 量 的平均值却相 对恒定 。 现在让我们通过计算机来模拟这种现象 。 下面是一个通过 Ruby语言实现的例子1 。
补充内容:条件期望与最小二乘法
连续值的概率分布
协方差矩阵、多元正态分布与椭圆
估计与检验
伪随机数
概率论的各类应用
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