广义相对论基础【2】广义相对论中的张量+张量代数

前言

你需要付出的只是心底里那点小小的温软，从此坚硬如铁。

广义坐标变换

广义相对论中应用的线性、非线性、正交、非正交的坐标变换统称广义坐标变换。

仿射基本上相当于线性
仿射空间不一定是直的或弯的，这要看曲率张量

设四维仿射空间中的广义坐标变换：

x′μ=x′μ(xμ)，μ,ν=1,2,3,4x'^{\mu}=x'^{\mu}(x^{\mu})，\mu,\nu=1,2,3,4x′μ=x′μ(xμ)，μ,ν=1,2,3,4

广义相对论中的四维时空坐标形式为 (x1,x2,x3,x4),x4=ict(x^1,x^2,x^3,x^4),x^4=ict(x1,x2,x3,x4),x4=ict

dx′μ=∂x′μ∂xαdxα(1)dx'^{\mu}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} dx^{\alpha} \qquad\qquad (1)dx′μ=∂xα∂x′μdxα(1)

重复指标代表求和，其被称为傀儡指标，简称傀标，上面式子右边，α\alphaα重复，为傀标。

dx′μ=∂x′μ∂x1dx1+∂x′μ∂x2dx2+∂x′μ∂x3dx3+∂x′μ∂x4dx4dx'^{\mu}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{1}} dx^{1}+\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{2}} dx^{2}+\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{3}} dx^{3}+\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{4}} dx^{4}dx′μ=∂x1∂x′μdx1+∂x2∂x′μdx2+∂x3∂x′μdx3+∂x4∂x′μdx4

傀标由一个上标和一个下标组成，比如（1）中的一对α\alphaα是一个傀标。

一个傀标四个分量

不能由两个相同的上标或两个相同的下标组成。

如果式子的行列式不为零，不为无穷的话，则坐标微分的逆变换存在。

若det∣∂x′μ∂xα∣≠0或∞若 \;\;\; det\bigg| \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \bigg|\ne 0 或\infty若det∣∣∣∣∂xα∂x′μ∣∣∣∣=0或∞

有dxα=∂xα∂x′μdx′μ(2)有 \quad dx^{\alpha}=\frac{\partial x^{\alpha}}{ \partial x'^{\mu} }dx'^{\mu}\qquad\qquad (2)有dxα=∂x′μ∂xαdx′μ(2)

则

∂xα∂x′μ⋅∂x′μ∂xβ=∂xα∂xβ=δβα\frac{\partial x^{\alpha}}{ \partial x'^{\mu} } \cdot \frac{\partial x'^{\mu}}{ \partial x^{\beta} }=\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\beta}}=\delta ^{\alpha}_{\beta}∂x′μ∂xα⋅∂xβ∂x′μ=∂xβ∂xα=δβα

∂x′μ∂xα⋅∂xα∂x′ν=δνμ\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \cdot \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x'^{\nu}} = \delta ^{\mu}_{\nu}∂xα∂x′μ⋅∂x′ν∂xα=δνμ

其中 Kroneker符号为（写成英文因为不想记住它的由来）

δβα={1α=β0α≠β\delta^{\alpha}_{\beta}=\begin{cases} 1 \qquad \alpha = \beta \\ 0 \qquad \alpha \ne \beta\end{cases}δβα={1α=β0α=β

综上，(1)和(2)中的变换矩阵互为逆矩阵。

\;\;

又因为洛伦兹变换的公式有 dxμ′=aμαdxα,dxα=(a−1)αμdxμ′dx'_{\mu}=a_{\mu\alpha}dx_{\alpha} \;\; , \;\; dx_{\alpha}=(a^{-1})_{\alpha\mu}dx'_{\mu}dxμ′=aμαdxα,dxα=(a−1)αμdxμ′

如果将广义坐标变换限制成线性正交变换，则逆变与协变张量的变换规律将变得相同，两类张量变成一类张量。坐标变换的线性将变换系数变成常数。

aμα∼aαμ=∂x′μ∂xαa_{\mu\alpha} \sim a^{\mu}_{\alpha} = \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\alpha}}aμα∼aαμ=∂xα∂x′μ
(a−1)αμ∼(a−1)μα=∂xα∂x′μ(a^{-1})_{\alpha\mu} \sim (a^{-1})^{\alpha}_{\mu}=\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x'^{\mu} }(a−1)αμ∼(a−1)μα=∂x′μ∂xα

变换的正交性： (a−1)μα=a~μα(a^{-1})^{\alpha}_{\mu}=\widetilde{a}^{\alpha}_{\mu}(a−1)μα=aμα

⇒∂xα∂x′μ=a~μα=aαμ=∂x′μ∂xα\Rightarrow \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x'^{\mu} }=\widetilde{a}^{\alpha}_{\mu} =a^{\mu}_{\alpha} = \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\alpha}}⇒∂x′μ∂xα=aμα=aαμ=∂xα∂x′μ

此时部分逆变和协变，不分上下标，协变张量和逆变张量有相同的变换规则——采用的是正定度规

采用不定度规时，协变张量和逆变张量也有相同的变换规则，但是某些两者对应分量差一个负号。

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与洛伦兹变换的a正交矩阵不同，广义坐标变换矩阵[∂x′μ∂xν]\left[ \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\nu}} \right][∂xν∂x′μ] 不是正交矩阵，并且变换矩阵的逆矩阵 [∂xν∂x′μ]\left[ \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}} \right][∂x′μ∂xν] 不是变换矩阵的转置。

广义坐标变换不同与洛伦兹变换

变换矩阵不一定是正交矩阵

变换矩阵的矩阵元不再是常数

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广义相对论中的张量

在四维仿射空间中，把零阶张量定义为不变的量（标量），可以是常数或函数

U′(x′)=U(x)U'(x')=U(x)U′(x′)=U(x)

逆变张量

一阶逆变张量，简称逆变张量。在广义坐标变换下，像坐标微分的量——坐标本身一般不是矢量，坐标微分才是矢量——

V′μ=∂x′μ∂xαVαV'^{\mu}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\alpha}}V^{\alpha}V′μ=∂xα∂x′μVα

逆变张量有四个分量，每个分量都是空间点（坐标）的函数

二阶逆变张量

T′μν=∂x′μ∂xα∂x′ν∂xβTαβT'^{\mu\nu}= \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x'^{\nu}}{\partial x^{\beta}} T^{\alpha\beta}T′μν=∂xα∂x′μ∂xβ∂x′νTαβ

N阶逆变张量

T′μν⋅⋅⋅λ=∂x′μ∂xα∂x′ν∂xβ⋅⋅⋅∂x′λ∂xσTαβ⋅⋅⋅σT'^{\mu\nu\cdot\cdot\cdot \lambda}= \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x'^{\nu}}{\partial x^{\beta}} \cdot\cdot\cdot \frac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\sigma}} T^{\alpha\beta\cdot\cdot\cdot \sigma}T′μν⋅⋅⋅λ=∂xα∂x′μ∂xβ∂x′ν⋅⋅⋅∂xσ∂x′λTαβ⋅⋅⋅σ

在四维空间，n阶逆变张量有4n4^n4n个分量

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协变张量

一阶协变张量，即协变矢量

Vμ′=∂xα∂x′μVαV'_{\mu}= \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x'^{\mu}} V_{\alpha}Vμ′=∂x′μ∂xαVα

二阶协变张量

Tμν′=∂xα∂x′μ∂xβ∂x′νTαβT'_{\mu\nu}= \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x'^{\mu}} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x'^{\nu}} T_{\alpha\beta}Tμν′=∂x′μ∂xα∂x′ν∂xβTαβ

N阶协变张量

Tμν⋅⋅⋅λ′=∂xα∂x′μ∂xβ∂x′ν⋅⋅⋅∂xσ∂x′λTαβ⋅⋅⋅σT'_{\mu\nu\cdot\cdot\cdot \lambda}= \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x'^{\mu}} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x'^{\nu}} \cdot\cdot\cdot \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x'^{\lambda}} T_{\alpha\beta\cdot\cdot\cdot \sigma}Tμν⋅⋅⋅λ′=∂x′μ∂xα∂x′ν∂xβ⋅⋅⋅∂x′λ∂xσTαβ⋅⋅⋅σ

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混合张量

Tν1ν2⋅⋅⋅νq′μ1μ1⋅⋅⋅μp=∂xμ1∂xα1⋅⋅⋅∂xμp∂xαp⋅∂xβ1∂xν1⋅⋅⋅∂xβq∂xνqTβ1β2⋅⋅⋅βqα1α2⋅⋅⋅αpT'^{\mu_1\mu_1\cdot\cdot\cdot\mu_p}_{\nu_1\nu_2\cdot\cdot\cdot\nu_q}= \frac{\partial x^{\mu_1}}{\partial x^{\alpha_1}} \cdot\cdot\cdot \frac{\partial x^{\mu_p}}{\partial x^{\alpha_p}} \cdot \frac{\partial x^{\beta_1}}{\partial x^{\nu_1}} \cdot\cdot\cdot \frac{\partial x^{\beta_q}}{\partial x ^{\nu_q}}T^{\alpha_1\alpha_2\cdot\cdot\cdot\alpha_p}_{\beta_1\beta_2\cdot\cdot\cdot\beta_q}Tν1ν2⋅⋅⋅νq′μ1μ1⋅⋅⋅μp=∂xα1∂xμ1⋅⋅⋅∂xαp∂xμp⋅∂xν1∂xβ1⋅⋅⋅∂xνq∂xβqTβ1β2⋅⋅⋅βqα1α2⋅⋅⋅αp

p个逆变指标和q个协变指标的张量，称为p+q阶混合张量，或(p,q)(p,q)(p,q)阶张量。

n阶逆变张量称为(n,0)(n,0)(n,0)阶张量

n阶协变张量称为(0,n)(0,n)(0,n)阶张量

δβα\delta ^{\alpha}_{\beta}δβα 是(1,1)(1,1)(1,1)阶张量

δν′μ=∂x′μ∂xα∂xβ∂x′νδβα⇒α=β∂x′μ∂xα∂xα∂x′ν=∂x′μ∂x′ν={1μ=ν0μ≠ν\delta'^{\mu}_{\nu}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x'^{\nu}} \delta^{\alpha}_{\beta} \stackrel{\alpha=\beta}{\Rightarrow} \frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x'^{\nu}}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x'^{\nu}}=\begin{cases} 1 \qquad \mu=\nu \\ 0 \qquad \mu\ne \nu \end{cases}δν′μ=∂xα∂x′μ∂x′ν∂xβδβα⇒α=β∂xα∂x′μ∂x′ν∂xα=∂x′ν∂x′μ={1μ=ν0μ=ν

为1意思和变量对自己求导得1意思相同。

为零意思是两个没有关系的变量之间微分，相当于对常数求导为零。

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张量代数

广义相对论中的张量表示和狭义相对论中的不同，后者的指标只放在下面，而广义相对论的指标也可以放上面，不表示乘方。

Tαβ是二阶协变张量T_{\alpha\beta} 是二阶协变张量Tαβ是二阶协变张量

Tαβ是二阶逆变张量T^{\alpha\beta} 是二阶逆变张量Tαβ是二阶逆变张量

协变基 {αi}\{\alpha_i\}{αi} \quad 逆变基 {αi}\{ \alpha ^i\}{αi} , 两者互为对偶基

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加减

张量的加减是相应分量的加减，因此加减中的张量必须同阶

张量是逐点定义的，所以加减中的张量必须在同一点上

Cρτγμν=Aρτγμν+BρτγμνC^{\mu\nu}_{\rho\tau\gamma}=A^{\mu\nu}_{\rho\tau\gamma}+B^{\mu\nu}_{\rho\tau\gamma}Cρτγμν=Aρτγμν+Bρτγμν

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乘

张量的乘是外乘，使阶数增加
Cαβγμν=Aαβμ⋅BγνC^{\mu\nu}_{\alpha\beta\gamma}=A^{\mu}_{\alpha\beta} \cdot B^{\nu}_{\gamma}Cαβγμν=Aαβμ⋅Bγν

(p1,q1)(p_1,q_1)(p1,q1)阶的张量和(p2,q2)(p_2,q_2)(p2,q2)阶的张量相乘，得到(p1+p2,q1+q2)(p_1+p_2,q_1+q_2)(p1+p2,q1+q2)阶的张量

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缩并

张量的一个上标和一个下标相同，那么这两个就成为了傀标。

傀标不表示张量的阶数，可以消掉。

张量阶数降低，比如下式是由(2,3)(2,3)(2,3)阶张量缩并成(1,2)(1,2)(1,2)阶张量

Cρμλμν=CρλνC^{\mu\nu}_{\rho\mu\lambda}=C^{\nu}_{\rho\lambda}Cρμλμν=Cρλν

Cρμλμν=Cρ1λ1ν+Cρ2λ2ν+⋅⋅⋅C^{\mu\nu}_{\rho\mu\lambda}=C^{1\nu}_{\rho1\lambda}+C^{2\nu}_{\rho2\lambda}+\cdot\cdot\cdotCρμλμν=Cρ1λ1ν+Cρ2λ2ν+⋅⋅⋅

缩并必须在上下标之间进行，两个上标或两个下标不能缩并，因此只有拥有逆变张量和协变张量的混合张量才能进行缩并运算

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矢量的标积（内积）

先外乘，再缩并。

一个张量的上标和另一个张量的下标相同，那么就变成了傀标。

标量C=AμBμ标量C=A^{\mu}B_{\mu}标量C=AμBμ

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对称

对于一个二阶协变张量

对称：Tμν=TνμT_{\mu\nu}=T_{\nu\mu}Tμν=Tνμ

反对称：Tμν=−TνμT_{\mu\nu}=-T_{\nu\mu}Tμν=−Tνμ

对于一个二阶逆变张量

对称：Tμν=TνμT^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}Tμν=Tνμ

反对称：Tμν=−TνμT^{\mu\nu}=-T^{\nu\mu}Tμν=−Tνμ

对于一个高阶张量 Tαβγσμνδ=TαβγσμδνT^{\mu\nu\delta}_{\alpha\beta\gamma\sigma}=T^{\mu\delta\nu}_{\alpha\beta\gamma\sigma}Tαβγσμνδ=Tαβγσμδν

称其对上标 ν,δ\nu,\deltaν,δ 对称

对于一个高阶张量 Tαβγσμνδ=−TσβγαμνδT^{\mu\nu\delta}_{\alpha\beta\gamma\sigma}=-T^{\mu\nu\delta}_{\sigma\beta\gamma\alpha}Tαβγσμνδ=−Tσβγαμνδ

称其对下标 α,σ\alpha,\sigmaα,σ 反对称

\;\;\;

对称部分和反称部分

任何一个张量都能写成一个对称张量和一个反称张量之和

Tμν=T(μν)+T[μν]T^{\mu\nu}=T^{(\mu\nu)}+T^{[\mu\nu]}Tμν=T(μν)+T[μν]

对称部分：T(μν)=Tμν+Tνμ2对称部分：T^{(\mu\nu)}=\frac{T^{\mu\nu} + T^{\nu\mu}}{2}对称部分：T(μν)=2Tμν+Tνμ

反称部分：T[μν]=Tμν−Tνμ2反称部分：T^{[\mu\nu]}=\frac{T^{\mu\nu} - T^{\nu\mu}}{2}反称部分：T[μν]=2Tμν−Tνμ

\;\;\;

复杂对称指标

Tαβγδμ(νσ)T^{\mu(\nu\sigma)}_{\alpha\beta\gamma\delta}Tαβγδμ(νσ) 表示 ν和σ\nu和\sigmaν和σ 是对称的

T[α∣βγ∣δ]μνσT^{\mu\nu\sigma}_{[\alpha|\beta\gamma|\delta]}T[α∣βγ∣δ]μνσ 表示 α和δ\alpha和\deltaα和δ 是反称的