The Elder（树形dp 斜率优化）

原题： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5956

题意：

给出一棵树，根为1，边权，从1出发，一次可以走多条路，每次的花费为L2L^2L2，LLL为路径长度。除了第一次外，都需要加上PPP。（比如说1,2,2,11,2,2,11,2,2,1，你先(1+2)2(1+2)^2(1+2)2，再PPP，再(2+1)2(2+1)^2(2+1)2）

求所有点到1的最小距离的最大值。

解析：

显然是树形dp+斜率优化，一眼题。

dp[i]=dp[j]+P+(sumi−sumj)2dp[i]=dp[j]+P+(sum_i-sum_j)^2dp[i]=dp[j]+P+(sumi−sumj)2（jjj是iii的祖先，sumisum_isumi代表点iii到根的路径长）

这个式子写出来后没想到斜率优化的可以罚站了。

推式子，假设yyy是xxx的子孙，yyy优于xxx，有：
dp[y]+P+(sumi−sumy)2<dp[x]+P+(sumi−sumx)2dp[y]+P+(sum_i-sum_y)^2<dp[x]+P+(sum_i-sum_x)^2dp[y]+P+(sumi−sumy)2<dp[x]+P+(sumi−sumx)2 dp[y]+sumy2−dp[x]−sumx2sumy−sumx<2sumi\dfrac{dp[y]+sum^2_y-dp[x]-sum^2_x}{sum_y-sum_x}<2sum_isumy−sumxdp[y]+sumy2−dp[x]−sumx2<2sumi

正确性验证： sumi↑sum_i\uparrowsumi↑，小于号，斜率栈单调增

有了式子，再来想一个问题，树上怎么斜率优化？

难题1：怎么在做右儿子的时候，消除左儿子留下的dp状态

显然时间点大于fafafa的状态都无效，所以我们可以赋予每个状态一个时间戳，做右儿子的时候弹出尾部的时间戳大于fafafa的状态。

难题2：做左儿子的时候把fafafa以及上面的状态弹出

我们只需要先存下这些状态，搜索结束后还原即可。考虑出入顺序，可以使用栈来存储。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define pill pair<int,int>
const int maxn=100009;
LL n,p;int head[maxn],nex[maxn<<1],to[maxn<<1],now;LL val[maxn<<1];
void add(int a,int b,LL v){nex[++now]=head[a];head[a]=now;to[now]=b;val[now]=v;
}LL sum[maxn];
pill S[maxn];
int l,r;
LL dp[maxn];inline long double K(int x,int y){return (long double)(dp[y]+sum[y]*sum[y]-dp[x]-sum[x]*sum[x])/(long double)(sum[y]-sum[x]);
}int tim;stack <pill>F,E;void dfs(int pos,int fa){int L=0,R=0;int NOW=++tim;if(pos>1){while(r>l&&K(S[l].first,S[l+1].first)<=(long double)(2*sum[pos]))l++,F.push(S[l-1]),L++;int FROM=S[l].first;dp[pos]=dp[FROM]+p+(sum[pos]-sum[FROM])*(sum[pos]-sum[FROM]);while(r>l&&K(S[r-1].first,S[r].first)>=K(S[r].first,pos))r--,E.push(S[r+1]),R++;S[++r]={pos,NOW};}for(int i=head[pos];i;i=nex[i]){while(r>=l&&S[r].second>NOW)r--;if(to[i]==fa)continue;sum[to[i]]=sum[pos]+val[i];dfs(to[i],pos);}r--;while(L--)S[--l]=F.top(),F.pop();while(R--)S[++r]=E.top(),E.pop();
}int main(){int t;scanf("%d",&t);while(t--){now=tim=0;memset(head,0,sizeof head);scanf("%lld%lld",&n,&p);rep(i,1,n-1){int a,b;LL v;scanf("%d%d%lld",&a,&b,&v);add(a,b,v);add(b,a,v);}sum[1]=0;dp[1]=-p;l=r=1;S[1]={1,1};dfs(1,0);LL ans=0;rep(i,2,n)ans=max(ans,dp[i]);printf("%lld\n",ans);}
}

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