FZU - 2302 Necklace （dp+斜率优化）

I - Necklace

FZU - 2302

题目大意：给出一个环每一段的价值为区间和的平方，求将环断成k断的最小价值之和。

解题思路：容易想到n^4的dp

首先断环成链，将数组复制一遍。

用dp[i][j]表示前i个分成j断的最小代价，那么我们就枚举区间，枚举段数，没增加一个点，当前点要么独立成一段，要么跟前边的成一段，所以再枚举间断点。

由于起点不确定，所以我们要做n次的dp，时间复杂度为n^4

这个是超时的代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<ctime>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define LL long long
#define N 5000005
#define maxn 10005
#define inf 0x3f3f3f3f
#define sca(x) scanf("%d",&x)
#define pb(x) push_back(x)LL a[405],b[405];
LL sum[405];
LL dp[405][405];LL Sum(int l,int r)
{if(l>r) return 0;return (sum[r]-sum[l-1])*(sum[r]-sum[l-1]);
}LL solve(int n,int k)
{for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=k;j++)dp[i][j]=inf;}for(int i=1;i<=n;i++)dp[i][0]=0;for(int i=1; i<=n; i++){for(int j=1; j<=k; j++){if(i<j)continue;if(j==1)dp[i][j]=Sum(1,i);elsefor(int l=i; l>=j-1; l--){dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[l][j-1]+Sum(l+1,i));}//cout<<i<<" "<<j<<" "<<dp[i][j]<<endl;}}return dp[n][k];
}int main()
{int t;sca(t);while(t--){int n,k;scanf("%d%d",&n,&k);sum[0]=0;for(int i=1; i<=n; i++)scanf("%lld",&a[i]),a[n+i]=a[i];LL ans=inf;for(int i=1; i<=n; i++){int cnt=1;sum[0]=0;for(int j=i; j<=i+n-1; j++){b[cnt]=a[j];sum[cnt]=sum[cnt-1]+a[j];cnt++;}ans=min(ans,solve(n,k));}printf("%lld\n",ans);}
}

当时只是知道可以优化但是不知道怎么去优化。后来学习一斜率优化。

首先我们知道

前i个分成j段

Sum(l,r)=(sum[r]-sum[l])*(sum[r]-sum[l]);

即dp[i][j]=dp[l][j-1]+Sum(l,r)^2 (l>=0 && r<i)

其中dp[i][j]要取最小值

展开 dp[i][j]=dp[l][j-1]+sum[r]^2+sum[l]^2-2*sum[r]sum[l]

移项 dp[i][j]+2*sum[r]sum[l]=sum[l][j-1]+sum[r]^2+sum[l]^2;

这个式子可以看做是 b+kx=y

因为2sum[r]为常数，可以看做是当前的斜率。sum[l]使我们要枚举的x点 sum[l][j-1]是我们在上层循环已经求过的值

可以看做是y点（sum[r]^2是一个常数，在求斜率的时候相减就抵消了，所以两边都是单变量）。

此时我们要求的dp[i][j]就是x=0时的截距。

我们希望截距尽量小。

所以维护一个下凸包。

如图所示，当我去找使刚才那个式子的截距最小的点对的时候，我们发现

若果当前队列中的前两个点的斜率小于当前的斜率，那么A点就可以不要了。因为在B点可以取得更优的值。

同理我们将队列前边的不符合要求的点都去掉，取得最优值。

然后我们要将现在的点加入，加入的时候也是同理，我们比较当前队列尾部的两个点的斜率和当前斜率（对于本题来说是2*sum[i]）的关系，如果斜率大于当前斜率，我们发现C点也可以去掉了。

就这样不断去除两端的点，就得到了优化。

可以优化到n^3。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<ctime>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define N 5000005
#define maxn 10005
#define inf 0x3f3f3f3f
#define sca(x) scanf("%d",&x)
#define pb(x) push_back(x)int  a[405],b[405];
int  sum[405];
int  dp[205][205];
int q[1005];int  Sum(int l,int r)
{if(l>r) return 0;return (sum[r]-sum[l])*(sum[r]-sum[l]);
}int  X(int x,int y)
{return 2*(sum[x]-sum[y]);
}int  Y(int x,int y,int k)
{return (dp[x][k]+sum[x]*sum[x])-( dp[y][k]+sum[y]*sum[y]);
}int  solve(int n,int k)
{for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=k;j++)dp[i][j]=inf;}for(int i=1;i<=n;i++)dp[i][1]=Sum(0,i);int head=0,tail=0;for(int i=2;i<=k;i++){head=tail=0;q[tail++]=i-1;for(int j=i;j<=n;j++){while(head+1<tail &&Y(q[head+1],q[head],i-1)<=sum[j]*X(q[head+1],q[head]) )head++;dp[j][i]=dp[q[head]][i-1]+Sum(q[head],j);while(head+1<tail &&Y(q[tail-1],q[tail-2],i-1)*X(j,q[tail-1])>=Y(j,q[tail-1],i-1)*X(q[tail-1],q[tail-2]))tail--;q[tail++]=j;}}return dp[n][k];
}int main()
{//freopen("D:\in.txt", "r", stdin);//freopen("D:\ougly.txt","w",stdout);int t;sca(t);while(t--){int n,k;scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1; i<=n; i++)scanf("%d",&a[i]),a[n+i]=a[i];int  ans=inf;for(int i=1; i<=n; i++){int cnt=1;sum[0]=0;for(int j=i; j<=i+n-1; j++){b[cnt]=a[j];sum[cnt]=sum[cnt-1]+a[j];cnt++;}ans=min(ans,solve(n,k));}printf("%d\n",ans);}
}/**/

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