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前言

之前我们对DP优化已经有了很多的了解，比如：单调队列优化DP，四边形优化DP。

今天，我们要讲的是传说中的斜率优化。它与四边形优化相似，都是从数学角度上来推理。斜率优化在四边形优化上又需要更复杂的数学推理，其中涉及到的求一条直线的斜率，以及运用叉乘来判断两条直线的斜率大小，都足以让初学者望而生畏。但只要理解透了其中的数学方法，也就是那么回事，挺简单的（我们老师说能第一次理解的人很少，所以如果你看不懂得话，可以第二天再来看一遍）。我在理解斜率优化时也是非常的煎熬，现在也是刚刚入门，所以有些地方写的有纰漏的话请见谅。

斜率优化前期准备

1.从状态转移方程出发

既然是一种优化DP的方法，那么他的起点就一定离不开状态转移方程。所以让我们来看一下这个转移方程

$f_{i}=f_{j}+x_{i}$ $f[i]=min(f[j]+m+(sum[i]-sum[j])^2)$

这是一个很简单的状态转移方程，很容易想到用单调队列优化把时间复杂度降到 $O(N)$ 。（如果你不知道单调队列优化DP，应该看看，因为接下来的斜率优化也要用到它）

How about this?(那么这个转移方程呢？）

$f_{i}=f_{j}+(x_{i}-x_{j})*(x_{i}-x_{j})$

观察这个转移方程，现在它还能用单调队列优化吗？显然不能。拆开 $(x_{i}-x_{j})*(x_{i}-x{j})$ 这一项，会得到 $x_{i}*x_{j }$ ,它不能分解为只与i或j有关的部分。于是上面的单调队列优化方法就不好使了，于是就引出了我们今天要学的内容：斜率优化了。

先来看看此题：Print Article

•题目大意：输出N个数字a[N]，输出的时候可以连续的输出，每连续输出一串，它的费用是 “这串数字和的平方加上一个常数M”。n<=500000，求最下的费用。

此题转移方程就是 $f[i]=f[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2$ (sum为前缀和也就是a1+a2+...+ai）

假设i是当前循环最外层，也就是可以假设它是一个常量。在不优化的情况下，我们是把j从1到i-1循环，找出最小决策点j来使 $f[j]+m+(sum[i]-sum[j])^2$ 最小。所以我们的主要任务就是找出最优决策点j。下面让我们来看看是怎么推出斜率优化的。

2.推理状态转移方程

我们考虑两个决策点k与j，如果决策j更优，那么也就是 $f[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2<f[k]+M+(sum[i]-sum[k])^2$ ,好了，现在只要用一下你们的纸和笔，就可以推出这个式子： $f[j]+sum[j]^2-(f[k]+sum[k]^2)<2*sum[i]*(sum[j]-sum[k])$

似乎只能化简这么多了。但让我们观察不等式的右边 $2*sum[i]*(sum[j]-sum[k])$ 这一项，因为我们已经规定了sum为前缀和数组；

所以如果j>k,则sum[j]-sum[k]是>0的，化简后得 $(f[j]+sum[j]^2-(f[k]+sum[k]^2))/(2*(sum[j]-sum[k]))<sum[i]$ ;

如果j<k,则sum[j]-sum[k]<0，得 $(f[j]+sum[j]^2-(f[k]+sum[k]^2))/(2*(sum[j]-sum[k]))>sum[i]$

观察这个式子,我们可以把 $f[j]+sum[j]^2$ 设为 $y_{j}$ , $2*sum[j]$ 设为 $x_{j}$ (相当于把x,y,看成两个函数），则上式可以化简为：

如果有j>k,则sum[j]-sum[k]<0，有 $(yj-yk)/(xj-xk)<sum[i]$ 等价于决策j优于k

如果有j<k,则sum[j]-sum[k]<0，有 $(yj-yk)/(xj-xk)>sum[i]$ 等价于决策j优于k

（这里讲的有点快，说一下，sum[i]已经被设为常数了）

既然我们已经把他们设为x,y了，则可以把这两个式子代入平面直角坐标系里（滑稽），那么j和k就是坐标系上的两个点，所以 $yj-yk)/(xj-xk)$ 就是两个坐标的直线的斜率（如果你不懂什么是斜率，请看这里）。

那么我们就可以得出我们的第一个结论：如果两个决策点的斜率小于sum[i],则靠后的决策点更优；否则靠前的决策点更优。——结论1.斜率则是 $yj-yk)/(xj-xk)$ 程序中是用函数来实现的。

也就是说在我们碰到其他题时，也需要用类似的方法对状态转移方程进行化简，并求出函数x和函数y.

对结论的进一步推导

尽管我们已经得出了一个逼格很高的结论，但这对于斜率优化是远远不够的，所以我们还要对此结论进一步推导。

先设一个函数g(i,j)为点i和点j之间的斜率，也就是 $yj-yk)/(xj-xk)$ 。然后，让我们考虑3个决策点的情况:i,j,k，k<j<i且 $g(j,k)>g(i,j)$ （也就是k到j的斜率大于i到j的斜率。为了方便理解，这里给出图像）。

下面让我们利用我们刚才得出的结论1，升级我们的结论。

可以分三种情况来讨论，设结论1里的sum[i]为一个常量P。

(当我们在考虑斜率大小时，我们可以这样想：斜率越大，直线就越斜。上图中的 $g[j,k]$ 就比 $g(i,j)$ 要斜）

这里贴出结论方便结合图理解：如果两个决策点的斜率小于P,则靠后的决策点更优；否则靠前的决策点更优。

•1.如果 $g(i,j)$ 与 $g[j,k]$ 均小于P，则j比i优，k比j优。所以最优决策点为k

•2.如果 $g(i,j)$ 与 $g[j,k]$ 均大于P,则j比k优，i比j优。所以最优决策点为i

•3.如果g[i][j]<P且g[j][k]>P，则i比j优，k比j优。所以最优决策点不为j

根据对3个情况的推理，我们发现不论如何，j都无法成为最佳决策点，所以可以排除j。于是就得出了我们的第2个论断：所有的决策点满足一个下凸包性质，也就是最优决策点的斜率是单调递增的。

下凸包就是如图的情况：

这里我们就可以代入单调队列了。为什么？因为由上述我们得到的结论，我们知道这些最优决策点相邻之间的斜率是单调递增的。将这些决策点放入队列，这个队列就具有了单调性，也就是可以用单调队列来实现了。

设这个单调队列q里存的决策点a,b，a<b，当前的数组sum[i]是会随着i递增的；当我们的最优决策点取在b时,b前面的所有决策点都将无效！为什么？因为sum[i]是递增的，所以需要我们匹配的斜率也是越来越大的，因为a<b，a前面的所有决策点都小于a，所以a及a前面的所有决策点都将无效。(在程序中，我们在单调队列之中的实现就是弹出队头。)但随着i的增加，b也可能不再适用，于是可以拿b与b后一个点c的斜率与sum[i]作比较:如果 $g(b,c)$ <sum[i]，则弹出b。知道 $g(b,c)>=sum[i]%u4E3A%u6B62$ 为止。

干货！综合结论

所以我们对程序的优化应该这样来实现：

•1，用一个单调队列来维护所有决策点。

•2，找最佳决策点时，设当前求解状态为i，从队头开始，如果已有元素a b c，当i点要求解时，如果 $g(b,a)$ <sum[i]，那么说明b点比a点更优，a点可以排除，于是a出队，直到第一次遇到 $g(j,j-1)$ >sum[i]，此时j-1即为最佳决策点。

•3，假设队列中从头到尾已经有元素a b c。那么当d要入队的时候，我们维护队列的下凸性质，即如果 $g(d,c)$ < $g(c,b)$ ，那么就将c点删除。直到找到 $g(d,x)$ >= $g(x,y)$ 为止，并将d点加入在该位置中。

Ps:写到这里有点写不下去了，于是直接粘贴了老师课件的原话。所以结合一下待会儿的代码凑合着看吧。。。。。。

判断斜率大小的方法：叉乘

(这个部分原来是没有的，现在抽出空来补充一下）

因为上文涉及到判断斜率的大小，但通常我们判断斜率是直接通过比较大小来比较的。虽然这种方法很方便，但因为涉及到除法的精度问题，这里引入一个叉乘的概念。

要运用叉乘来判断斜率的大小，我们还要知道一个东西叫向量，通常用字母p来表示。

向量可以看成一条线段。在平面直角坐标系中，如果有一条直线，它的一个端点坐标为(x1,y1),另一个端点坐标为(x2,y2)。

那么这条线段的线段就为p(x1-x2,y1-y2)。（相当于把这条线段平移到了原点）

（记住，结论中我们也将那些决策点连成了线段）

设有二向量p1(x3,y3),p2(x4,y4)。

则它们的叉乘p1×p2=(x3*y4-x4*y3)。在物理上，它们可以表示为一个平行四边形的有向面积。所以：

•若p1×p2>0，则p2在p1的逆时针方向；

•若p1×p2<0，则p2在p1的顺时针方向；

•若p1×p2=0，则p1与p2方向重合。

所以我们可以就可以结合上面的结论的最后一条。因为我们要保证最后队尾三个决策点为下凸包，所以我们在从队尾入队时，先将向量求出来，再用叉乘判断它们是否为下凸包。如果是，则退出循环；如果不是，则弹出队尾。

正片开始：代码部分

注释已经打好了，结合着上面的结论看吧.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>using namespace std;#define infI 0x3f
#define infL 1LL<<60
#define N 500010
#define LL long long
#define mem(a,n) memset(a,n,sizeof(a));LL read() {LL f=1,s=0;char a=getchar();while(!(a>='0'&&a<='9')) { if(a=='-') f=-1 ; a=getchar(); }while(a>='0'&&a<='9') { s=s*10+a-'0'; a=getchar();}return f*s;
}LL sum[N],f[N],q[N];
int head,tail=1,n,m;LL px(LL i) {//求一个点的横坐标xreturn sum[i]*2;
}LL py(LL i) {//求一个点的纵坐标yreturn sum[i]*sum[i]+f[i];
}int main() {while(cin>>n>>m) {//循环读入mem(f,0);mem(q,0);head=0,tail=1;for(int i=1;i<=n;i++)//初始化sum数组sum[i]=read();for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]+=sum[i-1];for(int i=1;i<=n;i++) {while( head+1<tail && (py(q[head+1])-py(q[head])) <= sum[i]*( px(q[head+1]) - px(q[head] ) ) )//实现总结论的第2条；(py(q[head+1])-py(q[head]))求的是斜率。//PS：你们可能看不懂，这里为了避免循环的精度问题进行了移项。head++;f[i]=f[q[head]]+m+(sum[i]-sum[q[head]])*(sum[i]-sum[q[head]]);//动态规划while( head+1 < tail && (px(q[tail-1])-px(q[tail-2]))*(py(i)-py(q[tail-1])) <= (px(i)-px(q[tail-1]))*(py(q[tail-1])-py(q[tail-2])))//判断斜率大小，这里运用了叉乘的方法。  tail--;q[tail++]=i;}cout<<f[n]<<endl;}}

后记

在写博客的过程中，我自己也感觉到了对斜率优化不是很了解，相当于复习了一遍，还是很感慨的.

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目录

前言

斜率优化前期准备

1.从状态转移方程出发

2.推理状态转移方程

对结论的进一步推导

干货！综合结论

判断斜率大小的方法：叉乘

正片开始：代码部分

后记

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