详解递归，文+图+代码，带你轻松了解递归算法的设计思路（附汉诺塔分析及题解）

递归，从代码实现上来看就是函数的自我调用，即在函数体中再调用函数本身。如：

void dg(int i){if(i>10)return;//递归出口cout<<i;//可以是其他语句，这里是为了显示递归过程dg(i+1);
}

可见，在dg函数中，调用了一次dg函数。细心的人可能会注意到为什么在函数体中有一个条件判断。这不难理解，倘若没有设置这个出口，该函数就会不断地进行自我调用，相当于一个链条不停向下延申，没有尽头。这对于函数的递归而言，只有”递“，而没有了”归“。

在得知了递归是如何实现之后，我们再从图形的方向来进一步看看什么是递归。

递归，见字知意，先递出去，后回归。我们可以将递归的过程看作一个树状图。从树冠开始从上往下延申，称为“递”，而从最底下的树叶从下往上上升，称为“归”，如图1，图中数字表示递归顺序。

这时或许会有疑惑，递归不是说是树状图吗？图1中分明是链状。不急，往下看。

图1中之所以没有分叉，是因为上面的函数体中只有一个函数的自我调用（函数体中只有一个dg函数被执行）。倘若我们在函数体中在加上一个dg函数，如下：

void dg(int i){if(i>10)return;//递归出口cout<<i;//可以是其他语句，这里是为了显示递归过程dg(i+1);cout<<"回归执行";dg(i+1);
}

那么这时递归的过程图便成为了上述的树状图，如图2，其中数字表示递归顺序。

这里我们可以通过树状图来分析一下代码，箭头1、2、4、7、8、10时执行了“cout<<i”，箭头4、7、10时执行了“cout<<"回归执行"”，而在树叶（即没有分叉的末端，如图2中有四个树叶）处执行了if语句返回上一级。

接下来，趁热打铁，用一道经典递归题三阶汉诺塔来加深对这个过程的理解：

汉诺塔问题可以这样描述：假设有A、B、C三个木桩和n个大小均不相同的盘子（Disc，或圆盘），从小到大编号为1，2，3，...，n，编号越大直径越大。开始的时候，n个盘子都套在A木桩上，现在希望能找到将A木桩上的盘子借着B木桩当中间桥梁，全部移到C木桩上最少次数的方法。不过在搬动时还必须遵守下列规则：

(1)直径较小的盘子永远只能置于直径较大的盘子上。

(2)盘子可以任意地从任何一个木桩移到其他的木桩上。

(3)每一次只能移动一个盘子，而且只能从最上面的盘子开始移动。

这里我们列举n=1~4时盘子的移动路径及移动次数

注：该题所说的移动路径默认为最短移动路径。

n=1时，1->3，移动了2^1-1次

n=2时，1->2,1->3,2->3，移动了2^2-1次

n=3时，1->3,1->2,3->2,1->3,2->1,2->3,1->3，移动了2^3-1次

n=4时，1->2,1->3,2->3,1->2,3->1,3->2,1->2,1->3,2->3,2->1,3->1,2->3,1->2,1->3,2->3，移动了2^4-1次

除此以外，再通过一些列举我们发现，对于奇数个盘子第一步总是1->3，而偶数个盘子第一步总是1->2，并且，对于奇数个盘子的移动路径，2n-1个盘子的移动路径总是包含在2n+1个盘子的移动路径中；对于偶数个盘子的移动路径，2n个盘子的移动路径总是包含在2n+2个盘子的移动路径。

仅仅通过以上说法并不能帮助我们解题，但可以为我们引导出一个递归的思路，那么，进一步思考归纳，我们可以得出以下三个步骤：

1.先将n-1个盘子从木桩1借助木桩3移动到木桩2;

2.随后将第n盘子（即最大的盘子）从木桩1移动到木桩3;

3.将n-1个盘子从木桩2移动到木桩3。

仔细看可以发现第三步又回归到前面两步（n-1个盘子时，我们只要将n-2个盘子从木桩2借助木桩3移动到木桩1，再将第n-1个盘子（即最大的盘子）移动到木桩3），形成了一个循环传递，而出口无疑是当盘子数量为1时；

根据上述，我们可以考虑设计一个递归函数来解决该问题。

显示其过程的代码如下：

void hanoi(int n, int p1, int p2, int p3) {if (n == 1)cout << p1 << "->" << p3 << endl;//递归出口else {hanoi(n - 1, p1, p3, p2);cout << p1 << "->" << p3 << endl;hanoi(n - 1, p2, p1, p3);}
}

利用堆栈求解如下：

void hanoi(int n, vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C){if (n == 1){   //这既是出口，也是第一步C.push_back(A.back());A.pop_back();}else{hanoi(n-1, A, C, B);    // 将木桩A上面n-1个盘子借助木桩C移动到木桩BC.push_back(A.back());  // 将木桩A最后一个盘子移到木桩CA.pop_back();          // 木桩A上最后一个盘子被移走，木桩A空了hanoi(n-1, B, A, C);     // 将木桩B上面n-1个盘子通过空的木桩A移到木桩C}
}

其递归过程图可参照图2。

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