numpy 矩阵乘法_NumPy 运算规则总结

1. 问题

ndarray 是 NumPy 的基础元素，NumPy 又主要是用来进行矩阵运算的。那么具体来说，ndarray 是如何进行普通矩阵运算的呢？

2. 分析

首先，在矩阵用 +-*/ 这些常规操作符操作的时候，是对元素进行操作。这和其他诸如 MATLAB 等语言不一样。

比如

ar = np.array([[20, 21, 22],[23, 24, 25]])
ar * ar

结果输出

array([[400, 441, 484],[529, 576, 625]])

可见， * 并没有进行矩阵乘法，而是矩阵和矩阵的元素进行了相乘。想要进行矩阵乘法计算，需要用dot方法

ar3 = np.array([[1, 2, 3],[4, 5, 6],[3, 2, 1]])
ar3.dot(ar3)

结果输出

array([[18, 18, 18],[42, 45, 48],[14, 18, 22]])
ar3 * ar3

结果输出

array([[ 1,  4,  9],[16, 25, 36],[ 9,  4,  1]])

那不同维数的矩阵如何处理？比如一个二维矩阵和一维向量，如何操作？这就需要用到 NumPy 的 Broadcasting 功能。Broadcasting 可以把低维矩阵扩展成高维矩阵进行运算。比如最简单的矩阵和数字相加，其实就等于把数字扩展成了一个和矩阵等大的新矩阵，然后对应元素相加。

Broadcasting 规则很简单

In order to broadcast, the size of the trailing axes for both arrays in an operation must either be the same size or one of them must be one.Array Broadcasting in Numpy — NumPy v1.19.dev0 Manual

即，Broadcasting 的时候，需要两个矩阵的尾轴大小相等，或者其中一个是 1。

这么说有点枯燥，举例如下

ar = np.array([[20, 21, 22],[23, 24, 25]])
t = array([1, 2, 3])
h = array([1, 2])ar / t

结果输出

array([[30.        , 15.5       , 10.66666667],[33.        , 17.        , 11.66666667]])ar / h
---------------------------------------------------------------------------
ValueError                                Traceback (most recent call last)
<ipython-input-21-711a92d431f2> in <module>
----> 1 ar / hValueError: operands could not be broadcast together with shapes (2,3) (2,)

t 和 h 都是只有一个维度，所以其大小就等于尾维。t 的尾轴大小为3，ar 是 2x3，尾轴也是3，两者相等，可以计算。h 的尾轴大小为2，两者不等，所以出现错误。

其 Broadcasting 可以理解为

axis 1 fix+------------>
ar [20, 21, 22]   /      | t [1, 2, 3][23, 24, 25]     axis |   [1, 2, 3]0    |v broadcast by axis 0

可见，把 t 扩展成和 ar 一样大小后，两者在元素级别上对应相除，即可得到之前的结果。

3. 扩展

刚才提到了 NumPy 的轴，可以进一步扩展一下。轴在 NumPy里面通常用参数axis传递，比如 axis=0。

NumPy 的坐标轴可以用下图来表示

axis 1+--------------->|       0     1     2|     +----+-----+----+
axis 0  |  0  |0,0 | 0,1 | 0,2||     +---------------+|  1  |1,0 | 1,1 | 1,2||     +---------------+v  2  |2,0 | 2,1 | 2,2|+----+-----+----+

当我们指定某一参数的时候，就可以理解成沿着这个方向执行操作。比如

Input: ar = np.arange(6).reshape(2,3)
Output:    array([[0, 1, 2],[3, 4, 5]])Input: np.sum(ar, axis=0)
Output:    array([3, 5, 7])Input: np.sum(ar, axis=1)
Output:    array([ 3, 12])

可见，当指定 axis=0 时，求和会沿着0轴方向进行，最后形成一个三个数字的向量；当指定 axis=1 时，求和会沿着1轴方向进行，最后形成一个两个数字的向量。

4. 总结

今天我们大致总结了 NumPy 的运算规则及坐标轴的含义。NumPy 作为基本库，是诸如 pandas、scikit-learn 等库的基础，掌握 NumPy 的相关规则，应是基本功。

相关代码均已上传到 Data2Science@Github (https://github.com/jetorz/Data2Science)，欢迎标记 Star。

5. 交流

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6. 扩展

6.1. 延伸阅读

Numpy 中如何对矩阵的特征对排序
Python 中怎样合并数据

6.2. 参考文献

[1]M. Wes, Python for Data Analysis, 2nd. Beijing: O’Reilly, 2017.
[1]J. VanderPlas, Python Data Science Handbook. Beijing: O’Reilly, 2016.