leetcode题解62-不同路径

2024-04-28 05:54:13

问题描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109

解题思路：

我们用 f(i, j) 表示从左上角走到 (i, j)的路径数量，其中 i 和 j的范围分别是 [0, m)和 [0, n)。

由于我们每一步只能从向下或者向右移动一步，因此要想走到 (i, j)，如果向下走一步，那么会从 (i-1, j)走过来；如果向右走一步，那么会从 (i, j-1)走过来。因此我们可以写出动态规划转移方程：

f(i, j) = f(i-1, j) + f(i, j-1)

需要注意的是，如果 i=0，那么 f(i-1,j)并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项；同理，如果 j=0，那么 f(i,j-1) 并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项。

初始条件为 f(0,0)=1，即从左上角走到左上角有一种方法。

最终的答案即为 f(m-1,n-1)。

代码实现

class Solution {//最优子结构：到达点i,j的方法总数等于到达正上方点i-1,j和点i,j-1正左方的方法总数之和public int uniquePaths(int m, int n) {int ways[][]=new int[m][n];//初始化状态数组for(int i=0;i<m;i++){ways[i][0]=1;}for(int i=0;i<n;i++){ways[0][i]=1;}//使用状态转移方程求解整个数组for(int i=1;i<m;i++){for(int j=1;j<n;j++){ways[i][j]=ways[i-1][j]+ways[i][j-1];}}return ways[m-1][n-1];}
}

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